第五章 弯曲应力
5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且
D1?40mm,d23?，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大D25正应力减小了百分之几？
解：1)空心截面尺寸： 由
?4D?21??D422?d22???d22?D2?1??4D????2?????2?? 求出；D2?50mm,d2?30mm ??ql2??1KN?m 82)确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。且：Mmax3)求最大正应力： 实心截面：WZ??D133232
?max?Mmax ?15.92MPaWZ4???Mmax?Dd2?'??1???空心截面：WZ? ???93.6MPamax??32??D2??WZ??4)最大正应力之比：
'?max??max159.2?93.6??41.2%
?max159.25.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知l?4m,梁横截面的尺寸。
b2?,q?10KN/m,????10MPa。试确定此h3
解：1) )确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。且：Mmaxql2?
22)建立强度条件：?maxMmaxbh2 ????? 其中：WZ?6WZ3)代入数据求出梁截面尺寸：b?277mm,h?416mm.
5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，?s?380MPa，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。
解：1)最大弯矩
Mmax?15.4?10320?10?3?308N?m
2)A—A截面抗弯模量
????W?Iymax0.0323?1.23?10?633)最大正应力： ??1.568cm?212?1?10???max?Mmax?196.4MPa WZ许用应力?????sn?253MPa 可见?max??s，压板强度足够。
5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T形，材料的拉伸和压缩许用应力之比
??t?/??c??1/4。求水平翼板的合理宽度。
解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。由于：
My下yIz??t?/??c??My?下?1/4
y上上Iz而y下＋y上?400，由此求出：
y下＝80mm,y上?320mm
2）图中中性轴zc为截面的一形心轴，则szc?0，可得：
?b?60???80?30???30?340???320?170??0 求出：b=510mm
5.13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度的改变为?l?27?10mm，材料的E=200GPa，试求梁截面上的弯矩M。
解：由梁所受弯矩方向可判断出AB处于受拉区，AB产生的线应变：???3?l l查表20号槽钢：Iz?144?10?8mm,y0?1.95cm 而?AB?My?E? 则可求出： IzM?E?Iz?10.7KN?m
(y0?0.5)5.16铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图。许用拉应力和压应力分别为
??t??40MPa,??c??160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
解：1)截面几何性质：y0??20?3??10???20?3??21.5??15.75cm
2?20?3??3?20320?3322?Iz????20?3??5.75????20?3??21.5?15.75???6013cm412?12?
2)强度校核：梁的弯矩图如图 截面B：??max?20?10??23?15.75??10?3?26013?10?3?24.1MPa???t?
??max?20?10??15.75??10?3?26013?103?3?52.4MPa???c? ?26.2MPa???t?
?2 截面C：??max?10?10??15.75??10?6013?10?33?2 ??max?10?10??23?15.75??10?6013?10?3?12.06MPa???c? ∴强度足够。
5.17试计算图示矩形截面简支梁的1--1截面上a点和b点的正应力和剪应力。
解：1)确定1—1截面的剪力和弯矩，
剪力图和弯矩图如图所示。 则可求出：
M1?
4040KN?m,Q1?KN 111140?103??0.075?0.04?My2)a点：?a?1a?11?6.04MPa
1Iz?0.075?0.1531240?1032?0.152Q1?h2?2?11??? ?a??ya???0.035?????0.379MPa 12Iz?443?2??0.075?0.15??1240?103?0.075Myb点：?b?1b?11?12.9MPa
1Iz?0.075?0.15312
Q?b?12Iz?h2?0.152?2??????y??0?0 b??4??1??2??0.075?0.153?4?1240?103115.21起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q＝50KN,起重量P=10KN。许用应力
????160MPa,????100MPa。若暂不考虑梁的自重 。试按正应力强度条件选定工字钢型
号，
然后再按剪应力强度条件进行校核。
解：1)梁的受力简图如图，可求出起重机对梁的作用力：P1?10KN,P2?50KN
2)确定起重机的危险位置及梁内的最大弯矩：
设D距B端为x，则可求出：
RB?P2?10?x??P1?8?x??58?6x
10 MD?RBx?58x?6x2
由
M0?0，得起重机的危险位置：x=29/6 m dx此时梁内的最大弯矩：MDmax?29??29??58????6????140.2KN?m
?6??6?Mmax???? WZ23)截面设计：由弯曲正应力强度条件?max?140.2?10333可求出：W? 故选取两根No.28a工字钢 W?508.15cm?438cm62160?10????4)按弯曲剪应力强度条件校核：查表No.28a工字钢
Iz?24.6cm,b?8.5mm ?Sz由梁的受力情况确定剪力分布情况，得出：Qmax?KN
则?maxQmaxS??z??13.9MPa????， No.28a工字钢完全满足强度要求。
2Izb5.26用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图所示。每块木板的横截面皆为150?25mm。若每一螺钉的许可剪力为1.1KN，试确定螺钉的间距s.设P＝5.5KN。
解：1)截面几何性质
顶板对中性轴的静矩为：
Sz?150?25?82.5?310?10mm Iz?33
截面对中性轴的惯性矩为：
1150?2003?100?1503?7.8?10?5m4 12????QmaxS?z?0.377MPa Qmax???A???b?s??Q? 可求出： Izb