江同营 初一上数学讲义
第九章 整式 第1节 整式的概念
【知识要点】
1．字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。
2．列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。
3．代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。
4．整式: 最简单、最基本的代数式 （1）单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
（2）多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
如：多项式5x3y?y4?3xy3?2x2y2?7按y的降幂排列为?y4?3xy3?2x2y2?5x3y?7，按y的升幂排列为?7?5x3y?2x2y2?3xy3?y4。
【基础训练】
1. 2. 3. 4.
汽车每4小时行a千米，它的速度是 千米/小时。
教室里原有m个同学，走出去4人，则教室剩下的同学人数是 人。 某商品现价a元，比原价降低了25%，则原价为 元
买单价x元的球拍n个，应找回的钱用代数式表示是 元。
5. 实验中学初一年级12个班级中共有团员a人，则
a表示的实际意义是 126. 如图，用代数式表示图中阴影部分的面积
baba
题 6 图
7. 商场为了促销，常用打折的办法，某商品原零售价为m元，先后两次打折，第一次打八折，第二
次打七折，两次打折后零售价为 元。
8. 当x?2时，代数式
12x?3的值是 29. 当x?2,y?3时，代数式x(y?1)的值是 第 1 页 共 21 页
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10. 当2a?7?3时，代数式a2?a?1的值是
1321xy?的次数是 ，常数项是 29112. 将多项式3xy?2x2y?x3?y?按x的降幂排列是 5113. 若mxyn是关于字母x、y的单项式，其系数为－5，次数是5，那么m=
311. 多项式5x3y?y4?2xy3?x4?n= 14. 用代数式表示：a的2倍与b的一半之和的平方
15. 小明从家出发去五角场，如骑车每小时行a千米，则t小时可到达五角场。现乘公共汽车，每小时比
骑自行车多行b千米。
（1）试求乘公共汽车多少小时可到达五角场
（2）当a?15,b?25,t?4时，乘公共汽车到五角场所花时间是多少？
【能力提高】
1． 有一个两位数，十位上数字是x，个位上的数字是y，如果把它们的位置交换，得到的新的两位数是 ，这两个两位数差多少 。 2．
3n2n?3xyz?xy2?5是七次多项式，则n= 43．设n是正整数，用含n的代数式表示： （1）比n大且与2n相邻的奇数；（2）能被5整除的偶数。
4．已知x?2y?5?9，求代数式4x?8y?5
5．已知x?y?3，求5?x?y??3224?x?y?2的值 x?y
6． 已知m?2?(n?3)2?0，求代数式3m2n?nm2?5的值
第2节 整式的加减
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【知识要点】
1．同类项的含义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项
两个相同：﹙1﹚所含字母相同；﹙2﹚相同字母的指数分别相同，两者缺一不可。
两个无关：﹙1﹚同类项与系数大小无关；﹙2﹚同类项与它们所含相同字母的顺序无关。 2．合并同类项：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。 如： 2a?b?3b?a中，2a与?a是同类项，?b与3b是同类项，可以合并同类项
2a?b?3b?a?(2?1)a?(?1?3)b?a?2b
合并同类项的注意点：
① 如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。
② 合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，不能遗漏。 ③ 合并后的多项式结果可以是单项式，也可以是多项式。 ④ 书写按代数式的规范。 3．整式的加减： 去括号法则：
① 括号前是“+”号，把括号和他前面的“+”号去掉后，括号理各项的符号都不改变 ② 括号前是“－”号，把括号和他前面的“－”号去掉后，括号理各项的符号都要改变 如： 3?(a?b)?3?a?b；3?(a?b)?3?a?b 括号前有系数时去括号的方法：
若代数式如3a?2(b?2)，括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号。 注意：①去括号时，括号与前面的“+”号或“－”号一起去掉 ② 括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘
③ 去括号的实质是应用乘法分配律进行代数运算，“－”号可以看成系数为－1。
【基础训练】
21. 写出ab的一个同类项，你写的是
。
。
2.
13nxy与是同类项，则m＝ 12 ,n＝ 。
223. 合并同类项2a?ab?a? m?54. 已知2ab3n与?4a2ny2?4m是同类项，则m＝ ,n＝ 。
25. 在?4x?3xy?123xy?3yx2?x2中，没有同类项的是 。 246.
?4x2y与5x2y的差是 。
7. 已知A?x2?2xy?y2，B?x2?xy。则A?2B? 。 8. 化简?2(a2?ab)?3(a2?ab)? 。
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9. 化简??????x?y?????????x?y???? 。
10. 将多项式2x2?3xy?4y2减去多项式x2?xy?y2的2倍的差是 。
11. 化简：
1a???a?1b2???3???1a?2b2?2?3??23??
12. 已知：?5xny与
15x3ym是同类项，求：代数式m2?mn?n2
13. 已知x?1,y?2，求代数式2x22?xy?3y2?4xy?5?2y2?6x?3的值
14. a?1,b?2,c??1，求5abc??2a2b??3ab??4ab?2?a2b???的值
15. 已知A?13x2?x?5,B?x2?3x?1，则当x?3时，3A?2B的值是
【能力提高】
1． 已知9xm?4y2与?3x3m?nym?1是同类项，则m2?n2＝ 。
2． 已知A?x2?3y2?3z2,B?2y2?2z2?3x2,C??z2?2x2?5y2，则（
）
（A）A?B?C?0 （B）A?B?C?0（C） A?B?C?0（D）A?B?C?0 3．两个三次多项式的差必是 （ ） （A）三次多项式 （B）二次多项式 （C）次数不低于三次的多项式 （D）次数不高于三次的多项式 4．已知x2?xy?6，y2?xy?6，求x2?y2和x2?2xy?y2
1． 如果代数式?2x2?ax?y?6???2bx2?3x?5y?1?的值与字母x所取的值无关，第 4 页 共 21 页
求代数式
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3a2b?ab?2ab?b?5a2b?4a2b的值
2． 已知a?1?2，b?2?(c?1)2?0，求
????12?3?ab??a2b?3ab?a2c?4a2c??3abc的值 2?2???
第3节 整式的乘除
【知识要点】
1．同底数幂的乘法：am?an?am?n
逆用这个法则，也可以把一个幂分解为两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数。如34?33?31?32?32等
2．幂的乘法：a??mn?amn
mmn逆用法则：amn?an如x3?434????a?可帮助我们根据问题的需要灵活将式子变形。
??x???x???x?
43n26nn3．积的乘方：?ab??a?b
20102010性质的逆向使用，会使一些数的计算简化。如22010?1?????2?1????2??2???12010?1
4．整式的乘法：通过乘法交换律和结合律把它转化为幂的运算，并用合并同类项得到结果。
（1）单项式与单项式相乘的步骤如下： ① 系数相乘——确定系数（特别注意符号）。 ② 相乘字母相乘——底数不变，指数相加。 ③ 不同字母相乘——连同它的指数照办下来。
（2）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【基础训练】
31. 计算?x?x? 。
n3n?12. 计算a?a?a? 。
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