《数学建模》练习试题2003
1、假设岛上不断有大陆来的移民。再假设t时刻大陆上有S种人，岛上有
N?t?种人。移居到岛上并在那边开拓殖民地的新人种的增加速度与大陆上尚未
移居到岛上的人种数S?N?t?成比例，比例常数为I。此外，人种的灭绝速度与岛上的人种数成比例，比例常数为E。证明岛上的人种数将达到一个平衡值，它近似为
2、与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：
?ISI?E。画出其与t的函数曲线。√
x(t)?rxlnNx， 其中r和N的意义与Logistic模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度
Em和渔场鱼量水平x0*。（p201ex2）√
3、外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体质、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。√
4、鼓励儿童们学习的一种方法是：当他们回答问题正确时给予奖励，而当他们回答不正确时不予奖励（或者有时给予惩罚）。教育工作者感兴趣的问题是设计一种能提高学习效率的方案。试建立一个在儿童中进行试验之前就能评估不同方案的数学模型。
5、一条流水线有五个岗位，分别完成某产品装配的五道工序。现分配甲、乙、丙、丁、戊五个工人去操作。由于每人专长不同，各个工人在不同岗位上生产效率不一样，具体数字见表2。问应如何分配每个工人的操作岗位，使这条流水线的生产能力最大？
表 2
1
岗位 工人 甲 乙 丙 丁 戊
Ⅰ 2 3 2 5 3 Ⅱ 3 4 5 2 7 Ⅲ 4 2 3 3 6 Ⅳ 1 5 4 2 2 Ⅴ 7 6 1 5 4 6、一商店拟出集甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价70元，如果售不出去，每单位商品将损失10元。已知甲商品销售量k服从以参数??6（即平均销量为6单位）的泊松分布p?k???ek??k!k?0,1,2?
问该商店订购量应为多少单位，才能使平均收益最大？√
7、某商店预期商品年销售量为350件，且在全年（按300天计）内基本均衡。若该商店每组织一次进货需订购费50元，存贮费每年每件13.75元，当供应短缺时，每短缺一件的机会损失为25元。已知订货提前期为零，求经济订货批量和最大允许的短缺数量。
8、学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍，学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其商数如下表8：
表 8
A B C 1 2 3 4 5 ? 235 117.5 78.3 58.75 ? 333 166.5 111 83.25 ? 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，
2
B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增到15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其它的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 (p55ex1) √
9、在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗，比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格c与商品重量?的关系，价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量?成正比，有的与表面积成正比，还有与?无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与?的关系，画出它的简图，说明?越大c越小，但是随着?的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。√
10、建立不允许缺货的生产销售存贮模型，设生产速度为常数k，销售速率为常数r，k?r。在每个生产周期T内，开始的一段时间（0?t?T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0?t?T）只销售不生产，画出贮存量q?t?的 图形，设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和k?r的情况。√
11、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表9所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；
3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表 9
3
证券名称 A B C D E 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益（%） 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 （1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
12、在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给，运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资，每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次，在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪，在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行，每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练，每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用（单位略去）如下表11所示，请你为甲方安排一个飞行计划。
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
表 11
新飞机价格 闲置的熟练飞行员报酬 教练和新飞行员报酬（包括培训费用） 执行飞行任务的熟练飞行员报酬 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 200.0 7.0 10.0 9.0 195.0 6.9 9.9 8.9 190.0 6.8 9.8 9.8 185.0 6.7 9.7 9.7 4
休假期间的熟练飞行员报酬
5.0 4.9 4.8 4.7 13、排名次的另一方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉场次的数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。
（1）证明：这相当于把竞赛图中各有向边反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒过来。
（2）用失分向量方法对8.2节图13（4）的竞赛图排列名次，结果与用得分向量方法一致吗？
14、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元，若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入3万元。当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。√
15、理事会有五个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少四个非常任理事赞成时的方向通过。求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。
?p1,p2,?,pn?16、设I??1,2,?,n?和A??x,y,??分别是选民和候选人集合，是I对A的一次投票（为简单起见，不考虑两候选人等同的情况）。选举结果P不是对A的一个排序，而只是决定一名优胜者（第一名）。现举出以下几种选举规则：
（1）?p1,p2,?,pn?中排在第一名最多的那位候选人为优胜者。
（2）若多于或等于半数的选民将x排在其它候选人之前，x是优胜者。 （3）若多于或等于半数的选民将x排在第一位，则x是优胜者；若没有这样的x，就把排在第一位最多的两个候选人x，y进行比较，当多于或等于半数的选民将x排在y前面时，x是优胜者。
（4）得分（Borda数）居第一位的为优胜者。
问这些规则都能确定优胜者吗？对于同一次投票这些规则决定的优胜者相
5