第三章 连续线性算子与连续线性泛函
第3章 连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向量空间Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵
?a11a12?a21a22?A????am1am2a1n??a2n? ??amn?对En中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射T称为算子，D称为算子T的定义域，记为D?T?，为称像集yy?Tx,x?D?T?为算子的值域，记作T?D?或TD。
若算子T满足： （1）T?x?y??Tx?Ty（2）T(?x)??Tx????x,y?D?T?? ????F,x?D?T??
称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求T?D?是X的子空间。特别地，如果T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。
例3.1 设X是赋范线性空间，?是一给定的数，映射T:x??x是X上的线性算子，称为相似算子；当??1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。
例3.2 ?x?C?a,b?，定义Tx?t???x???d?
at由积分的线性知，T是C?a,b?到C?a,b?空间中的线性算子。若令
f?x???x???d?ab??x?C?a,b??
应用泛函分析(第二版)
则f是C?a,b?上的线性泛函。
[定义3.2] 设X,Y是两个赋范线性空间，称T在x点T:X?X是线性算子，连续的，是指若?xn??X,xn?x，则Txn?Tx?n???；若T在X上每一点都连续，则称T在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。
[定理3.1] 设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性算子，若T在某一点x0?D?T? 连续，则T在D?T?上连续。
证明：对?x?D?T?，设?xn??D?T?，且xn?x?n???，于是
xn?x?x0?x0?n???，由假设T在x0点连续，所以当n??时，有
T?xn?x?x0??Txn?Tx?Tx0?Tx0
因此，Txn?Tx，即T在x点连续。由x的任意性可知，T在D?T?上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若
xn??（X中零元），则Txn??（Y中零元）。
例3.3 若T是n维赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T在X上连续。
证明：在X中取一组基?e1,e2,n,en?，设
xm??x?jm?ej?Xj?1?m?1,2,3,?
且xm???m???，即xm?0?m???，则
??m?2???xj??0?j?1?n??12?m???
从而x?jm??0?j?1,2,3,nn??m???。于是
?m?jTxm??xj?1Tej?maxxj1?j?n?m??Tej?1nj?0?m???
因此，Txm???m???，即T在x??处连续，进而T在X上每点连续。
[定理3.2] 设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射，
第三章 连续线性算子与连续线性泛函
则T有界的充分必要条件是：存在常数M?0，使不等式成立，即
Tx?Mx??x ?D??T证明：必要性。因T有界，所以T将D中的闭单位球B1????xx?1映成
Y中的有界集，即像集TB1???是Y中的有界集。记M?sup?Tx:x?B1????，此
??时，对每个
x?D?T?,x??,x?B1???x，由M的定义有
?x?T??x???M……………………（3.1） ??即Tx?Mx，而当x??时，不等式（3.1）变成等式。故?x?D?T?有 Tx?Mx充分性。设A是D?T?的任一有界集，则存在常数M1使x?M1??x?A?。 由Tx?Mx?x?D?T??知
Ty?My?MM1?y?A? 故TA有界。证毕。
[定理3.3] 设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线性映射，则T是连续的充要条件是T是有界的。
证明：充分性。设T有界，则存在常数M?0，使对一切x?D?T?,Tx?Mx，从而对xn?x?n???,?x?n??D?T?有
Txn?Tx?T?xn?x??Mxn?x?0?n???
即Txn?Tx?n???。所以，T是连续的。
必要性。若T连续但T是无界的，那么对每个n?N，必存在xn?D?T?，使Txn?nxn，令yn?xn1，那么yn??0?n???，即yn??，由T的连nxnnTxnnxn?nxnnxn?1，引出矛盾，
续性，Tyn???n???，但是另一方面，Tyn?故T有界。
应用泛函分析(第二版)
定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用
L?X,Y?表示X到Y的有界线性算子组成的集合。
例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。
例3.4 考察定义在区间?0,1?上的连续可微函数全体，记作C1?0,1?，其中范数定义为x?maxx?t?，不难证明，微分算子
0?t?1d是把C1?0,1?映入C?0,1?中的线dt性算子。
取函数列?sinn?t?，显然，sinn?t?1，但
dsinn?t?n?cosn?t?n????n??? dt因此，微分算子是无界的。
[定义3.3] 设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，对一切x?X，满足Tx?Mx的正数M的下确界，称为算子T的范数，记作T。
由定义可知，对一切x?X，都有Tx?Tx。
[定理3.4] 设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，则有
T?supTx?supTx?supx?1x?XTxx
x?1x?Xx??x?X证明：由Tx?Tx，易得
T?supTx……………………………………（3.2）
x?1x?X根据T的定义，对于任给的??0，存在非零x0?X，使
Tx0??T???x0
??令x0x0???T???，因此 ，则有Tx0x0?T????supTx?supTx
x?1x?Xx?1x?X令??0得 T?supTx?supTx……………………（3.3）
x?1x?Xx?1x?X第三章 连续线性算子与连续线性泛函
由式（3.2）和式（3.3），便得
T?supTx?supTx
x?1x?Xx?1x?X而T?supx??x?XTxx，由定义易知。
例3.5 在L1?a,b?上定义算子T如下
?Tf??x???f?t?dt,ax??f?L?a,b??
1（1）把T视为L1?a,b?到C?a,b?的算子，求T； （2）把T视为L1?a,b?到L1?a,b?的算子，求T。 解：算子T的线性是显然的，下面分别求T。
（1）设T：L1?a,b??C?a,b?，任取f?L1?a,b?，由于Tf?C?a,b?，从而
Tf?maxf?T??a?x?b?x?ma?xa?x?aba?x?bx?f?xat dtba?max?f?t?dt??f?t?dt?f
故T是有界的，并且T?1。另一方面，取f0?t??f0??f0?t?dt??abba1,t??a,b?，并且 b?a1dt?1 b?a于是
T?supTf?Tf0?max?f?1a?x?bxab11dt??dt?1
ab?ab?a故T?1。
1（2）设T：L1?a,b??L1?a,b?，任取f?L1?a,b?，由于Tf?L?a,b?，从而
Tf??ba?xaf??tdt?d?x??????babaxaba?t dtdxf?t?dt?dx??b?a?f??f
1?b的自然数n，n因此，并且T?b?a；另一方面，对任何使得a?T是有界的，