第1章 绪 论
本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。
1.1 学习数值分析的重要性
例 1.1 将数列In?解：因为
?10xndx 写成递推公式的形式，并计算数列I1,I2,?的值。 x?5xn?5xn?1?5xn?1In??dx0x?5 n?111x1??xn?1dx?5?dx??5In?100x?5n1得到计算I n 的递推公式
In?由I0?1?5In?1nn?1,2,??1.1?
?1016dx?ln ，借助递推公式（1.1）可依次算出I1，I 2，??。 x?55 实际中，一般需要具体的数据，因此若取I0为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现I12??0.32902110?102的结果，这显然是错误的！因为数列I n 的被积函数在积分区间上是非负的，故总应有I n≥0才对。（请读者可以
在自己的计算机上用递推公式（1.1）编程做一个数值实验，来检验当n较大时，I n的计算结果一定会出现负数的现象！）
现在很多科学研究和工程问题的解决都是借助计算机进行的。通常用计算机解决实际问题有四个步骤
1建立数学模型；○2选择数值方法；○3编写程序；○4上机计算。 ○
1.2计算机中的数系与运算特点
1.计算机的数系
数学理论告诉我们：实数集是稠密的无限集，其中任何一个非零实数可表示为
x??10c?0.a1a2a3???数学上可以方便的定义 ? 进制的浮点数
?1.2?
其中ai??0,1,2,3,4???,9?，c 为整数。式（1.2）表示的数x称为十进制浮点数。类似地，
x???c?0.a1a2a3??? ai??0,1,2,3,4???,??1?。
在计算机中，由于机器本身的限制，数学中的实数被表示为
x???c?0.a1a2a3???at ai??0,1,2,3,4???,??1? (1.3)
其中t是正整数，表示计算机的字长；c是整数，满足L≤c≤U，L和U为固定整数。对不
1
同的计算机，t、L和U是不同的，而?一般取为2,8,10和16。式（1.3）表示的数x称为t位?进制浮点数，其中c称为阶码，0.a1a2a3???at称为尾数，这样一些数的全体
F(?,t,L,U)???c?0.a1a2a3???atai??0,1,?????1?,L?c?U?
称为机器数系，它是计算机进行实数运算所使用的数系。
显然，机器数系是有限的离散集。该数集从总体看，在实数轴上分布不是均匀的，但从局部看，阶数相同的数又等距地分布在实数轴的某一段上。机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M和m，例如在4位十进制浮点数系F（10,4,-99，99）中，绝对值最大的非零数M??10?0.9999，绝对值最小的非零数 m??10?0.0001。
若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m，则计算机产生下溢错误。上溢时，计算机中断程序处理；下溢时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误。
通常，计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零。
2.计算机对数的接收与处理 实数集合是稠密无限的，而计算机使用的数系是有限的。为建立数学中的实数集和计算机中机器数系的对应，计算机采用下面方式进行这种对应。 设非零实数x是计算机接收的实数，则计算机对其的处理为 （1）若x?F(?,t,L,U) 则原样接收x ；
（2）若 x?F(?,t,L,U) 但 m?x?M，则用F(?,t,L,U) 中最接近x的数
99?99?fl(x)表示并记录x，以便后面处理。
计算机是怎样做数学运算的呢？首先要说明的是计算机本质上只能做加减乘除运算。两个数在计算机中参与运算的方式为：
（1） 加减法： 先对阶，后运算，再舍入； （2） 乘除法： 先运算，再舍入
计算机的运算一般是在计算机中央处理器的运算器中进行，而运算器中一般是多倍字长存储的，故计算机参加运算的数据允许有超出原机器数系字长的数出现。 例如，某计算机的数系F（10, 4,－99,99）的两个数x1=0.2337×10 -1和x2＝0.3364×102 ，则运算过程如下
fl(x1?x2)?fl(0.2337?10?1?0.3364?102)对阶?fl(0.0002337?102?0.3364?102)fl(0.3366337?102)2运算?
舍入?0.3366?10运算fl(x1?x2)?fl(0.2337?10?1?0.3364?102)?fl(0.7861668?100)
舍入?0.7862?100?0.7862
在计算机的数系F(?,t,L,U) 中，把尾数的第一位a1≠0数称为规格化的浮点数。
2
1.3 误差
科学计算的实质是用近似的数据，通过近似有效地计算去获得可用的结果。其强调的是计算结果的可用性，而不是准确性.
1.误差的来源
误差可以来自很多场合，但其来源主要有4个方面 1).模型误差（也称描述误差）；2).观测误差（也称数据误差）； 3).截断误差（也称方法误差）；4).舍入误差（也称计算误差）。
x2xnx2xnxe?1?x??????????近似公式 e?1?x??????
2!n!2!n!x舍入误差是计算机因数系有限，在接收和运算数据时引起的误差，它也是数值分析关注的
内容。本章例1.1的错误就是舍入误差造成的。
2.误差的定义 定义1.1 设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差 x*－ x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e* 或e (x*) ，即e (x*)= x*－ x。
由于准确值x通常是未知的，故误差e* 一般是计算不出来的，为此引入误差限来对误差进行估计。
*** 定义1.2 称满足 e?x?x??的正数? * 为近似值x*的误差限。
误差限一般是可以求出的，例如用具有毫米刻度的皮尺去测量某个物件的长度，测得的数据与物件的实际长度不会超过半个毫米。这半个毫米就是该物件长度的误差限。误差限 给出了准确值x 所在范围为x???x?x?? ，该范围常用x?x??表示。
误差限是误差绝对值的上界，显然误差限是不唯一的。由于合适的最小的误差限一般求不出来，实用中可以根据问题的特点选择一个合适的误差限即可。通常误差限一般取为获取该近似数仪器精度的半个单位。显然误差限?* 越小，近似值越精确。
绝对误差不能反映近似值x*的近似程度。例如某个量的准确值x1=9，其近似值x*1＝10; 另一个量的准确值x2=999，其近似值x*2＝1000，这两个量的绝对误差都是1，但显然x*2的近似程度比x*1好。为描述近似数的近似程度，需引入如下相对误差概念。
******e*x*?x 定义1.3 设x是准确值，x*是x的一个近似值，称? 为近似值x*的相对误
xxe*x*?x*?差，记为e*r或er (x*)，即er?x??。 xx相对误差的绝对值越小，近似程度越高。例如，前面例子近似值x*1和x*2的相对误差
****分别为erx1?1/9和erx2?1/999 ，因为erx1?erx2 ，所以x*2比x*1逼近
????????程度好。
同样，由于准确数x通常是未知的，导致相对误差不可计算，为此引入估计相对误差的相对误差限概念。
x*?x 定义1.4 称满足 er???r*的正数?r* 为 近似数x* 的相对误差限。
x* 相对误差限不如绝对误差限容易得到，实用中常借助绝对误差限来估计。为方便估计
3
e*x*?xe*x*?x*?相对误差限，实用中常用*?代替er?x??进行误差限的计算，这样就*xxxx?**得到实用中容易计算的相对误差限?r?*。显然，该值越小，近似程度越高。
x相对误差在科学计算中的重要性比绝对误差大。
3.数值计算的误差
计算机中的数值运算本质上是加、减、乘、除四则运算，带有误差的数经过四则运算后误差的变化有如下估计关系
定理1.1 假设x* 和y* 分别是准确值x和y的一个近似值，则有： 1） 四则运算的绝对误差估计
e(x*?y*)?e?x*??e?y*?， e(x*?y*)?y*e?x*??x*e?y*?
e(x*y*e?x*??x*e?y*?y*)?? y*?22） 四则运算的相对误差估计
e?x*??y*er?y*?r(x*?y*)?x*erx， e*y*)?e***?y*r(x?r?x??er?y?
x*er(y*)?er?x*??er?y*?
证明 只证估计式e(x*?y*)?y*e?x*??x*e?y*?，其余类似可证之。
由定义有
e(x*y*)?x*y*?xy?x*y*?xy*?xy*?xy?y*?x*?x??x?y*?y??y*e?x*??xe?y*? ?y*e?x*??x*e?y*?(?x?x*)证毕。
e (x*)= x*－ x = dx ，
e*x*?xr?x??x?dxx?dlnx 出近似数x*的绝对误差和相对误差与微分的关系
1）dx?e?x*? 2）dlnx?e*r?x?
由d(x?y)?dx?dy ，可得 e(x*?y*)?e?x*??e?y*?；
由 dln(xy)?dlnx?dlny，可得 e?x*?y*??e?x*??e?y*rrr?
例1.2 考查函数y = x n 的相对误差与自变量x的相对误差关系。 解 因为 lny?nlnx，所以dlny?ndlnx，得
4
er
??x???ne?x?*n*r
定理1.2设多元函数 u?f(x1,x2,???xn)，向量自变量(x1,x2,???xn)的近似值为
***，则有多元函数f(x1,x2,???xn)的误差估计 (x1,x???,x)2n***?f?x1,x2,?,xn? 1）efx1,x2,?,xn??***????i?1n?xie?xi*?
2）?fx1,x2,?,xn??***????i?1n***?f?x1,x2,?,xn??xi***?f?x1,x2,?,xn???xi*?
*** 3）?rfx1,x2,?,xn??????i?1n??xi*?f?x,x,?,x*1*2*n?xi?*
证明 利用Taylor展式有
**e?u??du?f?x1,x2,?,xn*??f?x,1x,?2,xn?**?f?x1,x2,?,xn*?*?f?x1,*x,?2,xn?
??i?1n?xi?x*i?xi???i?1n?xie?x*i?
然后利用绝对误差、绝对误差限和相对误差限定义可得。
例 1.3 设有一长方体水池，测得其长、宽、深分别为50?0.01米，25?0.01米，20?0.01米，试按所给数据求出该水池的容积，并给出绝对误差限和相对误差限。
解 令L,W, H分别代表长方体水池的长、宽、深；V代表长方体水池的容积，有
V=V(L,W,H)=LWH
由题意有长方体水池的长、宽、深的近似值为:
L*=50米，W*=25米，H*=20米，?（L*）=?（W*）=?（H*）= 0.01米
按所给数据求出该水池的容积为：V*=V(L*,W*,H*)=L*W*H*=50?25?20=2500 （米3）
?V*?V*?V***?e?V??e?L??e?W??e?H*??L?W?H**?W*H*e?L*??L*H*e?W*??LWe?H*?*?V*?V*?V***???V????L????W????H*??L?W?H**?W*H*??L*??L*H*??W*??LW??H*?*?25?20?0.01?50?20?0.01?50?20?0.01?27.50?米3???r?V*????V*?V*?27.50?0.11% 2500故本题绝对误差限和相对误差限为27.50立方米和0.11%。
4. 计算机的舍入误差
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