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第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
abcaca?acb?bac?cba?bbb?aaa?cccb（1）bc
?3abc?a?b?c11bb2333
21c?bc?ca?ab?ac?bac2（2）
aa22222?cb2
?(a?b)(b?c)(c?a)
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）2 4 1 3；
（2）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)； （3）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. n(n?1)2解（1）逆序数为3. （2）逆序数为序数为n(n?1).
.（3）逆
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为
1
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(?1)a1p1a2p2a3p3a4p4t，其中t为
p1p2p3p4的逆序数．由于
p1?1,p2?3
已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
4.计算下列各行列式： 解
21412140(1)
3?121c4?c23?12212321230
5062506221402140r4?r23?1224?r13?1221230
r1230=0
21400000?abacae?bce(2)
bd?cdde=adfb?ce
bfcf?efbc?e 2
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?11?1111?1=adfbce11=4abcdef
a1b?1001c?1001dr1?ar20?1001?abb?10a1c?1001d1?abac?101d(3)
?100
=
(?1)(?1)2?1?10
c3?dc21?ab?10ac?13?2ad1?cd0
=(?1)(?1) 5、证明： (1)
1?ab?1ad1?cd=abcd?ab?cd?ad?1
左边按第一列分开xayzay?bzaz?bxax?byaz?bxax?byay?bz
3
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yay?bzaz?bxbzaz?bxax?by
xax?byay?bz分别再分xay?bzzyzaz?bxa2yaz?bxx?0?0?bzxax?byzax?byyxyay?bz分别再分xyzyzxa3yzx?b3zxy
zxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzx(?1)2?右边
zxyzxya2a2?(2a?1)(a?2)2(a?3)22b2?(2b?1)(b?2)2(b?3)2 (2) 左边?bc2c2?(2c?1)(c?2)2(c?3)2
d2d2?(2d?1)(d?2)2(d?3)2a22a?14a?46a?9c2?c1b22b?14b?46b?9c23?c1c2c?14c?46c?9
c24?c1d2d?14d?46d?9a2a4a?46a?9按第二列22bb4b?46b?9分成二项c2c4c?46c?9d2d4d?46d?94
?
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a?bcd222211114a?44b?44c?44d?4第一项6a?96b?96c?96d?9abcd44440c?a24242424
c3?4c2a2c4?6c2b2c3?4c2c29999?abcd2222111104a4b4c4d6a6b6c6d?0
第二项c4?9c2d210b?ab?ab?a42 (3) 左边?aaa24d?add?a?a24c?ac?ac?a
b?ad?a22=
2b?a22222c?a22d22?a222
b(b?a)c(c?a)d(d?a)=
1(b?a)(c?a)(d?a)21c?ac(c?a)?a)?
0c?bc(c?a)?b(b?a)221d?ad(d?a)2b?ab(b?a)2
=(b?a)(c?a)(d1b?ab(b?a)20d?bd(d?a)?b(b?a)22
5