本 科 毕 业 论 文
文 献 综 述
题 目
数学归纳法及其在数列中的应用
学 院 数学与信息科学 专 业 班 级 学生姓名
11数本一 夏博
温州大学教务处制
学 号 指导教师
数学与应用数学 11109334132 何文明
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数学归纳法及其在数列中的应用文献综述
摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程。在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题。
关键字：数学归纳法；数列
§1、前言
一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代。毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。
完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个。那么对于这类问题该如何解决呢?
1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。
“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家 A.德·摩根 1838 年所著的《小百科全书》的引言中。德·摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”, 故赋予它“逐次归纳法”的名称。由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德·摩根又提出了“数学归纳法”这个名称。虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889 年意大利数学家皮亚诺(GPeano)建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系, 列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法。
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§2、数学归纳法的原理
§2.1 数学归纳法概念
数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。
§2.2 数学归纳法的基本原理
在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的
认识过程，首先，父母叫我们数1,后来数2,有2必有3，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。
数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质： (1)1是自然数
(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的随从a'，a'也是自然数 (3)1非随从，即1?a'
(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由
a'?b'
一定能推得
a?b
(5)任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的随从a',那么这个集合包含所有的自然数。
后来因为把0也作为自然数，所以公理中的1要换成0。
其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就有了数学归纳法：
设是与正整数有关的数学命题，如果： (1)命题当n?k时正确，即n?k?1正确
(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。
§2.3 数学归纳法的其它形式
数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般
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的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着”，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性。
(1)不一定从1开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当n?k0的时候，这个命题是正确的，又从假设当n?k(k?k0)时，这个命题是正确的，可以推出当n?k?1时，这个命题也是正确的，那么这个命题n?k0时都正确。这是第一数学归纳法的“变着”，也叫做跳跃数学归纳法。
(2)第二句话也可以改为“如果当n适合于1?n?k时命题正确，那么当
n?k?1时，命题也正确”，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于
第二数学归纳法的“变着”。
(3)设p(n)是关于自然数N的命题，若p(n)对无限多个自然数成立；假设p(k?1)成立可推出p(k)成立，则命题一切自然数n都成立。
总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着”，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它其实的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法。
§2.4 数学归纳法的步骤
数学归纳法主要用来证明一个与正整数有关的命题, 它的步骤如下:
1.证明当n 取第一个值n0 时结论正确; 2.假设当n=k( k!N*, 且k≥n0) 时结论正确, 证明当n=k+1 时结论也正确.在完成了这两个步骤以后, 就可以断定命题对于从n0 开始的所有正整数n 都正确.
§3、数列的通项公式的求法
一、 观察法
观察法即是通过考察所给数列的前几项来写出数列通项公式的方法。 二、 归纳法
有些数列本身所具有的规律很明显，但通项公式出，我们可以采用逐步归纳的方法去发现
经观察不容易看
与n之间的规律，从而写出通项
公式。 三、 猜想法
数列各项之间的规律不明显，给出了一些与该数列相关的一些已知条件，我
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们可以通过已知条件求出该数列的前有限个项，再来考察该有限个项之间的规律，猜出通项公式。
四、 可化为等差或等比的数列通项公式的求法
数列{
}不成等差或等比，但{
}成等差或等比数列，则称{
与n
}为
可化为等差或等比数列的数列。
五、 利用拆、凑通项的方法求数列的通项公式
对有些特殊的数列，我们可以对通项进行恒等变换，从而写出该数列的通项公式。 六、
利用求
的关系求出。当
时，
，即
在已知数列前n项和的条件下，可利用与
，当n=1时，
适合第一项，否则不适合第一项。
七、 利用差分方程求递推数列的通项公式
若数列{
}的前两项为已知，以后各项由递推公式
给出。要求数列{
}的通项公式
，可利用差分方差：
(A、B为待定系数)，其中
再根据已知
的值求出A、B，即可写出{
它的标准方程为为特征方程}的通项公式。
的解。
参考文献（5号宋体加黑）
[1 ]华罗庚 数学归纳法1 上海:上海教育出版社19631111 [2 ]韩景志 漫谈数学归纳法1 数学通报11997171
[3 ]郭金洪 数学归纳法及其教学1 中学数学研究119851115～81
[4 ]惠州人 课例大家评———评《数学归纳法的教学设计》难点的突破技术知识的形成过程1 中学数学教学参考1199915122～231
[5 ]党政 数学归纳法中归纳推理的常用技巧 数学通讯1998181 [6 ]平辛伦. 数学归纳法史述〔J〕. 数学教学(上海) ,1995 (1)
[7]G. H. Hardy, A course of pure mathematics, 7th edition, Cambridge: University Press, 1938. [8] D. Struik, A concise history of mathematics, 4th revised edition, Dover publications, Inc. 1987 [9] C. Boyer., A History of mathematics, John Wiley& Sons, Inc 1968.
[10] R. Carlinger (ed.), Classics of mathematics, Mooore publishing company Inc., 1982.
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（参考文献10篇以上，其中至少两篇外文，外文使用Times New Roman 字体）
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