第二部分 “模拟题”
一、判断题（“×”或“√” )（本大题14分，每小题1分)
（ × )1、任意多个闭集的并集一定是闭集. （ √ )2、C[a,b]的是完备的度量空间.. （ × )3、E的界点一定是E的聚点. （ × )4、康托尔集没有内点.
（ × )5、有理数全体所成之集Q是完备集.
（ √ )6、平面上有理点为中心、以有理数为半径的圆的全体，成一可数集. （ × )7、任何点集E上的常数函数f?x??c,x?E都是E上的可测函数.
新加的（ √ )8、可测函数f(x)?L(E)的充要条件是mG(E,f?)与mG(E,f?)都有限. （L积分的几何意义，p128-130：定义3、定理3、推论1、推论2） （ × )9、 若mE??，则E是有界集. （ √ )10、R是可分的度量空间.
（ × )11、C[a,b]按照通常的函数加法和数乘运算成为有限维线性空间.
( √ )12、设X,Y是度量空间，T:X?Y是线性、保距算子，则T一定是单射.
( √ ) 13、设X,Y是赋范线性空间,T:X?Y是线性算子,若T在X上连续,则T在X上一定有界． （ √ )14、有限集合，其测度一定为0. 新加的（ × )15、R中存在不具外测度的集合.
nn二、填空题（本大题16分，每空2分）
?1o,x?0,?sin21、设E是函数y?? 的图形上的点所作成的集合，在R内求E的E?,E. x??0,x?0.?1? 解：E???(x,y)y?sin,x?0?x???(x,y)y?1,x?0， E??.
?o(?1)n),n?1,2,3,2、求集列An?(0,1?nn??n??的上、下极限集.
An?(0, 1] 解：limAn?(0,1); lim
3、无限集的描述：
4、f(x)是E上任意的可测函数，则f(x)简单函数的关系： .
5、设f(x)在[a,b]上L可积，则其不定积分与绝对连续函数的关系 . 7、设{ En}是一列单调增加的可测集，则：m(limEn) = lim(mEn).
n??n??
6
8、设{ En}是一列单调递降可测集且mE1???，则：m(三、大题
1、（0，1)与???,???对等么？说明理由. 答：对等. f(x)?tan(?x??En?1?n) = lim(mEn).
n???)是（0，1)到(??,??)的一一对应. 22、依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛的么？回答，并证明或举例. 答：不一定.例如：取E??0,1?，将E二等分，定义两个函数：
11??1,x?(0,]3,x?(0,]??(1)(1)22， f2(x)?g2(x)?? f1(x)?g1(x)??11?3,x?(,1]?1,x?(,1]22??将E三等分，定义三个函数：
??1,(2)f3(x)?g1(x)???3,???1,(2)f5(x)?g3(x)???3,?112?x?(0,]1,x?(,]3，f(x)?g(2)(x)??33 ，
?42112?3,x?(,]x?(0,]333?2x?(,1]3,?? 2x?(,1]3则{fn(x)}为所求函数列，因为在每一点处{fn(x)}都不得有两个聚点1，3，从而{fn(x)}处处不收敛； 又因为???0,?j?1,m，有limmE[|gjm??n??(m)?3|??]?lim1?0.而当m??时，一定有n??，所
m??m以???0,limmE[|fn?3|??]?0，从而{fn(x)}在E上依测度收敛到1. 3、构造一列处处收敛但不依测度收敛的函数列. 答：取E??0,???，作函数列： fn?x???显然fn?x??1?n???，当x?E.
但是当0???1时，Efn?1????n,???，且m?n,?????.这说明?fn?不依测度收敛于1.
1?1,x??0,n??0,x??n,???n?1,2,?.
???xlnx14、求证：? . dx???21?xn?1(n?1)0??xlnx?1xlnxnnn证: 因. ??xlnx,而当x?(0,1)时,xlnx?0, 故????xlnxdx???21?x1?xn?10n?1n?1(n?1)0115、设mE??，f在E上可积，en?E[f?n]. 证明limn?men?0.
n 7
?证明： f在E上可积，则mE[f??]?0,而E[f??]?n?1?en，又因?en?是单调减少集列且
me1?mE??,所以E[f??]?n?1me???] 0.于是 lim en?limen且me1?mE??，n?mE[fn??n??由L积分的单调性得是limn?men?limn???en有limfdx??ndx?n?men.而根据L积分的绝对连续性，
ennmen?0en?fdx?0,于
n??en?fdx?0，即limn?men?0.
6、设fn(x)是E上一列非负可测函数，且f1(x)?f2(x)?明：当?fn(x)?中至少有一个可积时，有
?fn(x)?,limfn(x)?f(x)a.e.于E， 证
n???Ef(x)dx?lim?fn(x)dx.
n??E证明：由题设知，存在n0，使fn0(x)是E上的可积函数，又由于 fn0(x)?fn0?1(x)?fn0?2(x)?且
?fn0?k(x)??0 ，
?Efn0(x)dx??fnx(dx)En(?n0，故当) n?n0时，fn(x)都是E上的可积函数，于是由勒贝格
E控制收敛定理有
?f(x)dx?lim?fn(x)dx
n??E7、设f(x)在[a,b]上绝对连续，且f?(x)?0a.e.于[a,b]，则f(x)为增函数. 证明:f在[a,b]上绝对连续，所以对任意x1,x2?[a,b]:x1?x2，有f(x2)?f(x1)?又由于f?(x)?0a.e.于[a,b],所以f(x2)?f(x1)??x2x1f?(t)dt,
?xx2x1f?(t)dt??x2x10?dt?0，即f(x2)?f(x1), 所以
f(x)为增函数.
8、对?f?L?a,b?，定义积分算子T:?Tf??x???f?t?dt，将T看成L?a,b??C?a,b?的算子时，求
aT的范数.
解： (1)记f1??f?t?dt，则
abTfc?maxT?fa?x?b??x??maxa?x?b?xaf?t?dt ?max?f?t?dt??f?t?dt?fa?x?baaxb1 ，
所以T?supf?0Tffc1?1.
（2）取f0?t??1,t??a,b?， 则f01?1，从而 b?aT?supTff1?1c?Tf0c?max?a?x?bxab11dt??dt?1，于是T?1.
ab?ab?a综合（1）（2）得T?1. 大题知识点：
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计算：求算子范数；计算勒贝格积分值；求积分的极限；计算积分（L逐项积分定理）； 证明：
与L积分性质相关的证明；
与积分的极限有关的证明（列维定理、L逐项积分定理、L控制收敛定理）； 可测函数列收敛性（p91-Riesz定理，p92-lebesgue定理）（书后原题） 压缩映射原理（见过）；
(书后原题)可测函数的判断与证明{知识点：可测函数定义及简单判定与连续函数性质结合（p51-11，p52-13）}
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