离散数学课后答案
习题一
6.将下列命题符号化。
（1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨.
（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq） 其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨 （2）（p Λ?q ）ν（?pΛq） 其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语
14. 将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人.
(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐.
(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.
(12)2与4都是素数, 这是不对的.
(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答：
(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.
(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.
(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.
(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.
(12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16.
19. 用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
(3) ? (q→r) ∧r
(4)(p→q) → (?q→?p) (5)(p∧r) ? ( ?p∧?q)
(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r) (7)(p→q) ? (r?s) 答：
(1), (4), (6)为重言式. (3)为矛盾式.
(2), (5), (7)为可满足式
习题二
9.用真值表求下面公式的主析取范式.
(1) (pνq)ν(?pΛr) (2) (p→q) → (?p?q) 答： (1)
(2)p q (p → q) → (?p ? q) 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
从真值表可见成真赋值为01, 10. 于是(p → q) →(?p ? q) ? m1 ∨ m2
11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式； (1) (pνq)Λr (2) p→(pνqνr) (3) ?(q→?p)Λ?p
15. 用主析取范式判断下列公式是否等值: (1) (p→q) →r与q→ (p→r) (2) ?(pΛq)与(?pνq) 答：
(1)(p→q) →r ? ?(?p∨q) ∨ r ? ?(?p∨q) ∨ r ? p?∧q ∨ r ? p?∧q∧(r?∨r) ∨ (p?∨p) ∧ (q?∨q)∧r ? p?∧q∧r ∨ p?∧q∧?r ∨ p∧q∧r ∨ p∧?q∧r ∨ ?p∧q∧r ∨ ?p∧?q∧r = m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨ m101 ∨ m011 ∨ m001 ? m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 = ∑(1, 3, 4, 5, 7).
而 q→(p→r) ? ?q ∨ (?p∨r) ? ?q ∨ ?p ∨r ? (?p∨p)?∧q∧(?r∨r) ∨ ?p∧(?q∨q)∧(?r∨r) ∨ (?p∨p)∧(?q∨q)∧r ? (?p?∧q∧?r)∨(?p?∧q∧r)∨(p?∧q∧?r)∨(p?∧q∧r) ∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p∧?q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ? m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ? ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r). 16. 用主析取范式判断下列公式是否等值: (1)(p→q) →r与q→ (p→r) (2) ? (p∧q)与? (p∨q) 答：
(1) (p→q) →r) ?m1∨m3∨m4∨m5∨m7
q→ (p→r) ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 所以(p→q) →r) k q→ (p→r) (2) ? (p∧q) ?m0∨m1∨m2
? (p∨q) ?m0
所以? (p∧q) k ? (p∨q)
习题三
15.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→ (q→r), s→p, q 结论: s→r
(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u 答：
(1)证明: ① s 附加前提引入
② s→p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p→(q→r) 前提引入 ⑤ q→r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
(2)证明: ① P 附加前提引入
② p∨q ①附加
③ (p∨q) → (r∧s) 前提引入 ④ r∧s ②③ 假言推理 ⑤ ④化简 ⑥ s∨t ⑤附加 ⑦ (s∨t) →u 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理
16.在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理: (1)前提: p→?q, ?r∨q, r∧?s 结论: ?p (2)前提: p∨q, p→r, q→s 结论: r∨s
答：
(1)证明: ① P 结论否定引入
② p→?q 前提引入 ③ ?q ①②假言推理 ④ ?r∨q 前提引入
⑤ ?r ③④析取三段论 ⑥ r∧?s 前提引入 ⑦ r ⑥化简
⑧ ?r∧r ⑤⑦合取 ⑧?? 为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.
(2)证明: ① ? (r∨s) 结论否定引入
② p∨q 前提引入 ③ p→r 前提引入 ④ q→s 前提引入
⑤ r∨s ②③④构造性二难 ⑥ ? (r∨s) ∧ (r∨s) ①⑤合取 ⑥为矛盾式, 所以推理正确.
18.在自然推理系统P中构造下面推理的证明.
(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩. (2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生. (1)令 p: 今天是星期六;
q: 我们要到颐和园玩; r: 我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多.
前提: p→ (q∨r), s → ?q, p, s. 结论: r. 证明① p 前提引入
② p→q∨r前提引入 ③q∨r①②假言推理 ④s前提引入
⑤ s →?q前提引入 ⑥ ?q ④⑤假言推理 ⑦?? r ③⑥析取三段论 r ?q s → ?q sq∨r p→q∨r p
(2)令p: 小王是理科生,
q: 小王是文科生,
r: 小王的数学成绩很好.
前提: p→r, ?q→p, ?r 结论: q
证明：① p→r 前提引入
② ?r 前提引入 ③ ?p ①②拒取式 ④ ?q→p 前提引入 ⑤ q ③④拒取式
习题四
在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1)没有不能表示成分数的有理数. (2)在北京卖菜的人不全是外地人. (3)乌鸦都是黑色的.
(4)有的人天天锻炼身体. 没指定个体域, 因而使用全总个体域. 答： (1) ??x(F(x) ∧?G(x))或?x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x为有理数, G(x): x能表示成分数.
(2) ??x(F(x) →G(x))或?x(F(x) ∧?G(x)), 其中, F(x): x在北京卖菜, G(x): x是外地人.
(3) ?x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x是乌鸦, G(x): x是黑色的. (4) ?x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x是人, G(x): x天天锻炼身体. 5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1)火车都比轮船快.
(2)有的火车比有的汽车快.
(3)不存在比所有火车都快的汽车. (4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的. 答：
因为没指明个体域, 因而使用全总个体域
(1) ?x?y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是轮船, H(x,y):x比y快.
(2) ?x?y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是汽车, H(x,y):x比y快.
(3) ??x(F(x) ∧?y(G(y) →H(x,y))) 或?x(F(x) →?y(G(y) ∧?H(x,y))), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y快. (4) ??x?y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)) 或?x?y(F(x) ∧G(y) ∧?H(x,y) ), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y慢. 9. 给定解释I如下:
(a)个体域DI为实数集合\\. (b)DI中特定元素?a =0.
(c)特定函数?f (x,y)=x?y, x,y∈DI.
(d)特定谓词?F(x,y): x=y,?G(x,y): x (1) ?x?y(x