习题7
7-1. 选择题
1．若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m0，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为( )
(A) pV/m0 (B) pV/ (kT) (C) pV /(RT) (D) pV/(m0T) 2．关于温度的意义，有下列几种说法 (1) 气体的温度是分子平均动能的量度
(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义 (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同 (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度 上述说法中正确的是( )
(A) (1)、(2)、(4) (B) (1)、(2)、(3) (C) (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4)
3．三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，而方均根速率之比
21/221/221/2为(vA2∶4，则其压强之比pA∶pB∶pC为( ) (vC)= 1∶)∶(vB)∶
(A) 1∶2∶4 (B) 4∶2∶1 (C) 1∶4∶16 (D) 1∶4∶8
4．下列各式中表示气体分子的平均平动动能的是( )。(式中，m为气体的质量，m0为气体分子质量，M为气体的摩尔质量；n为气体分子数密度，NA为阿伏伽德罗常数，V为气体的体积)
(A) [3m0/(2m)] pV (B) [3m/(2M)] pV (C) (3/2)npV (D) [3M/(2m)] NApV
5．一容器内装有N1个单原子理想气体分子和N2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T的平衡态时，其内能为( )
(A) (N1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT]
(B) (1 /2 ) (N 1+N2) [(3/2)kT+(5/2)kT] (C) (3/2) N1kT+ (5/2) N2kT (D) (5/2) N1kT+ (3/2) N2KT
6．已知一定量的某种理想气体，在温度为T1与T2时的分子最可几速率分别为vp1和vp2，分子速率分布函数的最大值分别为f（vp1）和f（vp2）。如果已知T1>T2，则( )
(A) vp1>vp2 f（vp1）>f（vp2） (B) vp1>vp2 f（vp1）
(D) vp1 7．两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的( ) (A) 平均速率相等，方均根速率相等 (B) 平均速率相等，方均根速率不相等 (C) 平均速率不相等，方均根速率相等 (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等 f(v)8．麦克斯韦速率分布曲线如习题7-1(8) 图所示，图中A、 B两部分面积相等，则该图表示 ( ) (A) v0为最可几速率。 AB(B) v0为平均速率。 (C) v0为方均根速率。 Ovv0(D) 速率大于和小于 v0的分子数各占一半。 9．玻尔兹曼分布律表明：在某一温度的平衡态，有 习题7-1(8)图 (1) 分布在某一区间(坐标区间和速度区间)的分子数，与该区间粒子的能量成正比 (2) 在同样大小的各区间(坐标区间和速度区间)中，能量较大的分子数较少；能量较小的分子数较多 (3) 大小相等的各区间(坐标区间和速度区间)中比较，分子总是处于低能态的几率大些 (4) 分布在某一坐标区间内、具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比，与粒子能量无关 以上四种说法中，正确的是( ) (A) 只有(1)、(2) (B) 只有(2)、(3) (C) 只有(1)、(2)、( 3) (D) 全部正确 10．一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程?和平均碰撞次数z与温度的关系是( ) (A) 温度升高，?减少而z增大 (B) 温度升高，?增大而z减少 (C) 温度升高，?和z均增大 (D) 温度升高，?保持不变而z增大 7-2．填空题 1．在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是： (1)_______________________________________________________； (2)_______________________________________________________。 2． 如习题7-2(2)图所示,两个容器容积相等，分别储有 ▆ N2 O2 相同质量的N2和O2气体，它们用光滑细管相连通，管子 中置一小滴水银，两边的温度差为30K，当水银滴在正中 习题7-2(2)图 不动时，N2和O2的温度为TN ， 2TO2= 。( N2的摩尔质量为28?10?3kg?mol?1，O2的摩尔质量为32?10?3kg?mol?1) 3．自由度为i的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V、压强为p时，其内能E= . 4．已知f (v)为麦克斯韦速率分布函数,vp为分子的最概然速率, 则 ?vp0f?v?dv表 示 ；速率v > vp的分子的平均速率表达式为 。 5． 习题7-2(5) 图所示的曲线为处于同一温度T时氦（原f(v)(a)子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种气体分子 的速率分布曲线，其中曲线(a)是__________________气分子 (b)的速率分布曲线；曲线(c)是__________________气分子的速 率分布曲线。 (c) 答案: 7-1．选择题 O1．B；2．B；3．C；4．A；5．C；6．B；7．A；8．D； 习题7-2(5)图 9．B；10．D 7-2．填空题 1．沿空间各方向运动的分子数相等；vx2=vy2=vz2 2. 210K，240K 3. i2pVv ?p4. 速率在0~vp范围内的分子数占总分子数的比率;?vvf?v?dv/?f?v?dv vp?5. 氩；氦 7-3．在体积为2.0×10-3m3 的容器中，有内能为 6.75×102J的刚性双原子分子理想气体。试求： （1） 气体的压强； （2） 分子的平均平动动能及气体的温度（设分子总数为 5.4×1022 个）。 [解] (1)理想气体的内能 E?N?kT (1) i2压强 p?nkT?NkT (2) V由(1)、(2)两式可得 p?2E?1.35?105 Pa 5V(2) 由 E?N?kT 则 T?i2E?362K 25kN33又 w?kT??1.38?10?23?362?7.5?10?21 J 22 7-4．容器内储有氧气，其压强为 p = 1.01×10 5 Pa，温度为 t= 27℃。试求： (1)单位体积内的分子数； (2)分子的平均平动动能。 解：（1）由p?nkT p1.01?10525-3n???2.44?10m ?23kT1.38?10?30033?23?21（2）w?kT??1.38?10?300?6.21?10J 22 7-5．容器内某理想气体的温度T＝273K、压强p=1.00 ×10-3atm（1atm=1.013?105Pa），密度为??1.25g?m?3。试求： (1)气体的摩尔质量； (2)气体分子运动的方均根速率； (3)气体分子的平均平动动能和转动动能； (4)单位体积内气体分子的总平动动能； (5)0.3mol该气体的内能。 [解] (1) 气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N0?kTp 1.25?10?3?1.38?10?23?273-1?0.028kg?mol ?6.02?10? ?351.00?10?1.013?1023所以该气体是N2或CO (2) 由P?nkT 得 n?所以 m?2P kT?n??kTP 3kT3kT3P3?1.00?10?3?1.013?10?3-1m?s所以 ?? ??P???493?3m?kT?1.25?10 (3) 气体分子的平均平动动能 ??kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J 3232气体分子的转动动能 ?2?kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J (4) 单位体积内气体分子的总平动动能 22E?n?1?p333?kT?p??1.00?10?3?1.013?105?1.52?102J?m-3 kT222(5) 该气体的内能 i5E?0.3Emol?0.3?RT?0.3??8.31?273?1.701?103J 22（删除）7-6．设N个粒子的系统的速率分布函数为:dNv=kdv (V>v>0，k为常量)，dNv=0 (v> V)， (1) 画出分布函数图； (2)用N和v定出常量k； (3) 用V表示出算术平均速率和方均根 速率。 7-7．有N个质量均为m0的同种气体分子，f(v)是速率分布函数，N f(v)随速率的分布如习题7-7图所示。试问： (1)曲线与横坐标所包围面积的含义； (2)由N和v0求a值； (3)在速率v0到3v0间隔内的分子数； 22(4)分子的平均平动动能。 解：（1）曲线下的面积表示总分子数N （2）根据图可得 Nf(v)a?a?vv?0Nf(v)???a??0(v0?v?0)(2v0?v?v0)(其他) Ov02v0v总分子数可表示为： ??习题7-7图 0Nf(v)dv?N， 1av0?a(2v0?v0)?N 232Nv0a?N, a? 23v0（3）在速率v0到3v0间隔内的分子数为： 223v02v020a3172vdv??adv?av0?av0?av0 v0v08212?Nf(v)dv??v02v03v（4）速率分布函数为 ?a?Nvv0??f(v)??a?N???0(v0?v?0)(2v0?v?v0)(其他) 则分子的平均平动动能为： v012v01m0a37m0a331m0av03122a2aw??m0vf(v)dv??m0vvdv??mvdv?v0?v0?0202v020v0NN8N6N24N2N又因为a?， 3v0?31m0v032N31w???m0v02 24N3v036 7-8．设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为P0=1.0×105pa，已知某地的 ?3?1海拔高度为h=2000 m，空气的摩尔质量29?10kg?mol，试求该地的气压值。 ?p0e?1.01?10?e?7.95?10Pa 解：p?p0e 7-9．试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率，取分子有效直径为 ?3?13.5×10-10m，空气平均摩尔质量为29?10kg?mol。 ?m0gzkT?MgzRT5?29?10?3?10?20008.31?(273?17)4kT1.38?10-23?273-8解：????6.85?10m 2-10252πdp2?3.14??3.5?10??1.01?10v?8RT8?8.31?273?m?s?1?4.46?102 m?s?1 ?3πM3.14?29?10v4.46?102?19?1z??s?6.54?10 s ?8?6.85?10 7-10．设氮分子的有效直径为10-10m，试求： (1)氮气在标准状态下的平均碰撞次数； (2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa时的平均碰撞次数。 解：（1）分子的平均速率 v?8RT8?8.31?273?m?s?1?4.54?102 m?s?1 ?3πM3.14?28?10由气体的压强公式可求得气体分子的数密度 p1.013?105?325?3n??m?2.69?10 m kT1.38?10?23?273平均碰撞次数 z?2n?d2v?2?2.69?1025 ?3.14??10-10??4.54?1022?5.42?10次?s8-1 （2）温度不变的情况下，分子的平均速率不变，又因为 z?2n?dv?22p?d2vzp，所以1?1 kTz2p2p21.33?104z2?z1??5.42?108?7.14?107次?s-1 5p11.01?10 7-11．设电子管内温度为300 K，如果要管内分子的平均自由程大于10cm时，则应将它抽到多大压强？(分子有效直径约为3.0×10-8 cm)。