篇一：小船渡河问题(含知识点、例题和练习)
小船渡河问题
小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
【例1】一条宽度为l的河，水流速度为（1）怎样渡河时间最短？ （2）若（3）若
v水
，已知船在静水中速度为
v船
，那么：
v船?v水v船?v水 ，怎样渡河位移最小？
，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：tmin? l。 v船 v船 此时，实际速度（合速度）v合?v船?v水
2 2 22
v合 v水 lv船?v水l 实际位移（合位移）s? ?
sin?v船
（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于l，必须使船的合速
度v合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cos??v水，即??v水v船
。因为θ为锐角， 0?cos??1，所以只有在v船?v水时，船头与河岸上游的夹角??arccos
能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即smin?l。实际速度（合速度）v合?v船sin?，运动时间t? v水v船 ，船才有可
ll? v合v船sin? （3）若v船?v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如右图所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据cos??
v船v水 ，船头与
河岸的夹角应为??arccos
v船v水
，此时渡河的最短位移：
s? lvl
?水 cos?v船 渡河时间：t? l ，
v船sin? l
v船sin?
船沿河漂下的最短距离为：xmin?(v水?v船cos?)?
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
【练习1】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，
v水?kx，k? 4v0
，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，d
则下列说法中正确的是（ ） a. 小船渡河的轨迹为曲线 b. 小船到达离河岸
d
处，船渡河的速度为2v0 2
c. 小船渡河时的
轨迹为直线
d. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为v0
【练习2】小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对岸,试问河宽有多少米?
【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体a，当绳与水平方向成θ角时，求物体a的速度。
图1
解：本题的关键是正确地确定物体a的两个分运动。物体a的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于
v1?v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就
可以将va按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是va的两个分速度，如图1所示，由此可得va? vv1
?0。 cos?cos? 【练习3】如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v1和v2,
a.物体m 做匀速运动且v1=v2 b.物体m 做减速运动且v1<v2
c.物体m 做匀加速运动且v1>v2
d.物体m 做加速运动且v1>v2
【练习4】如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达p点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体m
【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：
a、v0>v b、v0<v
c、v0=v d、以上答案都不对。
篇二：小船渡河问题的分析
【例】 一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是v水，小船在静水中的速度是v船，求： （1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？ （2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河？最
短位移多大？
在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河问题是常见的运动的合成与分解的典型问题，又是小蜡块实验的拓展与延伸。但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。所以使得这部分知识学起来很困难。
在此之前，学生已经必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： （1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
【分析】
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。但是在现实中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。
题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间 【解答】
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间
t? d ?1 ? d
，显然，当??90?时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小
?船sin?
为
d
，合运动沿v的方向进行。 v
2．位移最小
?水
结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos??
?船
但这有限制条件即?船??水，若v船?v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos??
v船v水
船头与河岸的夹角应为
v船
??，船沿河漂下的最短距离为：
v水xmin?(v水?v船cos?)?
d
v船sin?
此时渡河的最短位移：s?
dvd
?水 cos?v船
【心得】
对学生来说第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。 篇三：小船渡河问题练习题
（1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速）、v（船的实际速度）。
（3）三种情景： ①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。
②过河路径最短（v2?v1时）：合速度垂直于河岸，航程最短，
s短?d。 t短? d