数学系数学与应用数学2009级本科毕业论文
对称
摘 要 对称性是解决数学问题的重要方法之一.在积分学中充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,使得数学积分的计算过程得到简化.本文通过总结定理和性质并借助实例说明对称性在定积分、重积分、曲线积分、曲面积分计算中的应用.
关键词 对称性 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分
1. 前言
在许多人眼里,数学是抽象和复杂的,但在此背后,也有着它和谐的旋律.如果我们能够更多的理解和掌握数学中的很多规律,就会对数学有更深的认识和感受.
目前人们普遍认识到的数学美的基本内容有：统一美、对称美、简洁美、奇异美.它们各有内涵,各有吸引人之处,而对称美是指数学内容中的部分与部分、部分与整体之间和谐一致,以及各种数学概念和理论之间所存在的“对等美”.
关于对称性在积分计算中的应用,首先明确以下问题：
(1)关于对称性的了解,以简单点为例：点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；点(x,y)关于
y轴的对称点为(?x,y)；点(x,y)关于原点对称的对称点为(?x,?y)；点(x,y)关于y?x对称
的对称点为(y,x).
(2)函数的奇偶性判断,以及两个函数和差积运算后的奇偶性.
(3)本文所涉及内容都是R—可积函数.（[a,b]上的连续函数在[a,b]上必可积；只有有限个第一类不连续点的函数是可积的,即分段函数是可积的；单调有界函数必定可积.）
(4)清楚的区分各种积分的表达式.
(5)用极坐标将二、三重积分化为累次积分时应该注意的地方.
(6)数学分析就是用极限的思想来研究函数的一门学科,需对研究内容的产生和如何解决的方式有一定的了解.
(7)基本积分公式、倍角公式的熟悉应用.
2. 对称性在定积分计算中的应用
定理1[4] 设函数f(x)在[?a,a]上连续,那么
a???a0,f(?x)??f(x)?? f(x)dx??a2f(x)dx,f(?x)?f(x)???02.1 计算I???4?x2ln41?xdx. 1?x第1页 共22页
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分析：定积分在研究区间[?又因为x为偶函数,ln?2??,]是关于原点对称的, 441?x是奇函数,故由定理1可知,??0. 1?x2.2 计算I???(1?arctanx)2?21?cos2xdx.
分析：定积分在研究区间是关于原点对称的,又因为
? I???(1?arctanx)2?21?cos2xdx
???2?(1?cos2x?arctanx1?cos2x)dx
?2因为1?cos2x为偶函数,arctanx?1?cos2x为奇函数,故由定理1知 ,
??2021?cos2xdx?0
? ?2?202cos2xdx
? ?22?20cosxdx
?22
?2.3［8］ 计算I?44cosxdx. ??2?2分析：定积分研究区间[?4??,]是关于原点对称的, 44因为4cosx为偶函数,故由定理1知,
?? I?2?204cosxdx?8?2cos4xdx?043? 2n?1?n?2成立.） n??（进行积分计算时,有?n?323?2?20sinxdx??2cosnxdx,且有递推公式?n?0n2.4 计算I??(arcsinx)21?x323?22dx.
分析：先用凑分法,再做代换,最后利用对称性,则有 I??(arcsinx)21?x2dx
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323?2 ??(arcsinx)2darcsinx
? ???tdt
3-32? ?2.5 计算I??32-0tdt??327
?2?2xln(1?ex)dx.
分析：显然积分区间关于原点对称,但ln(1?ex)既不是奇函数也不是偶函数,我们可以利用
f(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?,其中为偶函数, 为奇函
2222x数,把它分解成为一个奇函数和一个偶函数的和. 令f(x)?ln(1?e),则
f(x)?f(?x)1f(x)?f(?x)x?ln(2?ex?e?x),?
2222所以有, I??2?2xln(1?ex)dx
?x12x[x?ln(2?ex?e?x)]dx ?2?2?x2然而xln(2?e?e)是关于x的奇函数,x是关于x的偶函数,由定理1知,
281222xdx?xdx? ???2023112.6 计算I??2dx.
?1x?分析：定积分在研究区间[?1,1]是关于原点对称的,又因为
1是偶函数,由定理1知, x2
1dx ?1x211 ?2?2dx
0x??2
I??1然而这个答案是不正确的,事实上,由于被积函数12?0,所以当积分存在时,其值必大于零,原因
x在于在区间[?1,1]上有第二类间断点x?0,因而不能用对称性或者莱布尼茨公式计算. 小结 在定积分对称性的应用中,我们看到,这里所指的对称性是区间是否关于原点对称,而与被积函数的图像是否关于对称轴或者原点对称无关,但是与被积函数的奇偶性密切相关；另外经过奇偶函数的和差积得到的新函数的奇偶性,倍角公式,特殊公式的熟练掌握和应用也是非常重要的；最重要的是无论用公式还是用对称性来解题都要首先确定被积函数是R—可积函数.
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3. 对称性在二重积分计算中的应用
定理2 [5][7][9] 设函数f(x,y)在D上连续,且????f(x,y)dxdy存在,记
DD1?{(x,y)|(x,y)?D,x?0} D2?{(x,y)|(x,y)?D,y?0}
D3?{(x,y)|(x,y)?D,x?0,y?0} D4?{(x,y)|(x,y)?D,y?0}
（1）设D关于轴x对称,?(x,y)?D,
??D?0,f(x,?y)??f(x,y)?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,f(x,?y)?f(x,y)
????D2（2）设D关于y轴对称,?(x,y)?D,
??D?0,f(?x,y)??f(x,y)?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,f(?x,y)?f(x,y)
????D1（3）设D关于原点对称,?(x,y)?D,
??D?0,f(?x,?y)??f(x,y)?f(x,y)dxdy??2f?x,y?dxdy,f(?x,?y)?f(x,y)
????D3（4）设D关于直线y?x对称,?(x,y)?D,
??D?0,f(y,x)??f(x,y)?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,f(y,x)?f(x,y)
????D4（5）设D关于x轴和y轴均对称,?(x,y)?D
??D?0,f(x,?y)??f(x,y)或者f(?x,y)??f(x,y)?f(x,y)dxdy??4f(x,y)dxdy,f(x,?y)?f(x,y)或者f(?x,y)?f(x,y)
????D3(6)(变量可轮换性)若积分区域关于x,y,z具有轮换对称性,则
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??f(x,y)dxdy???f(y,z)dxdy???f(z,x)dxdy
DDD1????f(x,y)?f(y,z)?f(z,x)?dxdy3DD
3.1 计算??222222D其中由双纽线(x?y)?a(x?y)围成. xsinydxdy??分析：已知D关于y轴对称,且是关于x的奇函数,所以??0. 3.2[8] 计算????Dy2?x2x?y?z222dxdy,其中D?{(x,y)|x?y?1}
分析：由于D关于直线x?y对称,且被积函数具有性质f(y,z)??f(x,y),所以??0. 3.3[5] 计算??分析：??2??2x?ydxdy,其中D:x2?y2?1 ??D2??2x?ydxdy ??D???4x2?y2?4xydxdy
D积分区域D关于x轴对称,且被积函数4xy为y的奇函数,所以,
??4xydxdy?0
D22xdxdy?y????dxdy,所以, DD又因为在积分区域D中x,y的地位相同,则有
??5??y2dxdy
D ?522(x?y)dxdy ??2D152?3 ??d??rdr
0205? ?
43.4 计算????(x?y)dxdy,其中D:xD222?y2?1.
分析：积分区域D:x?y?1关于x轴,y轴均对称,而且被积函数关于y和x是偶函数, 固有 ??4??(x?y)dxdy
D3?0?4?2(rcos??rsin?)d??rdr
01?20?4?d??(r2cos??r2sin?)dr
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