《线性代数》的主要知识点
第一部分 行列式 概念：
1． n阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；
②每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；
③每一项的符号为(?1)?(行）??（列）
2． 元素的余子式以及代数余子式 Ai?jij?(?1)Mij
3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则
2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)
第二部分 矩阵
1． 矩阵的乘积
注意：①不满足交换率（一般情况下AB?BA）
②不满足消去率 （由AB=AC不能得出B=C）
③由AB=0不能得出A=0或B=0
④若AB=BA，则称A 与B是可换矩阵
2．矩阵的转置
满足的法则：(A?B)T?AT?BT，(kA)T?kAT,(AB)T?BTAT
3．矩阵的多项式 设?(x)?an0?a1x???anx，A为n阶方阵，则
?(A)?an0E?a1A???anA称为A 的n次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：
（1）如果 A?P?P?1，则?(A)?an0E?a1A???anA
?Pa0EP?1?Pa11?P?1???Pan?nP?= P?(?)P?1
（2）若??diag(a1,a2,?an)，则?(?)?diag(?(a1),?(a2),??(an)) 4．逆矩阵：n阶矩阵A,B，若AB?BA?E，则A,B互为逆矩阵。 n 阶矩阵A可逆?A?0；
?r(A)?n （或表示为R(A)?n）即A为满秩矩阵； ?A与E等价；
?A可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的列（行）向量组线性无关； ?A的所有的特征值均不等于零
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ii求法：①伴随矩阵法：A?1?1A?A
*?1②初等变换法：?A,E??初等行变换?????E,A?或???A?初等列变换?E??????????A?1??， E是单位矩阵 E????性质：（1）矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的
（2）设A是n阶矩阵，则有下列结论 ①若A可逆，则A?1也可逆，且(A?1)?1?A
②若A可逆，则AT也可逆，且(AT)?1?(A?1)T ③若A可逆，数k?0，则kA可逆，且(kA)?1?1kA?1
④若A.B为同阶矩阵且均可逆，则A.B也可逆，且(AB)?1?B?1A?1 5．方阵A的行列式：
满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵，?为数）
①AT?A ②?A??A ③AB?AB
6．伴随矩阵：行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵
???*A?????A11A12?A1nA21A22?A2n?*n??An1??An2?，称为矩阵A的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） ???Ann??*伴随矩阵具有性质：AA?AA?AE
*n?1常见的公式有：①A?A ②A?A?A*?1③(A)*?1?1AA ④(A*)?1?(A?1)*等
7．初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：
（1）E(i,j)（互换E的第i、j列）
（2）E(i(k))（E的第行乘以不为零的数k） （3）E(ij(k))（把E的j行的k倍加到第行上）
初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且E(i,j)?1?E(i,j)、E[i(k)]?1?E[i(k?1)]、E[ij(k)]?1?E[i,j(?k)]；
初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。
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8．矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ①对调两行； 记为 ri?rj 对换第i与j行
②以数k?0乘某一行中的所有元素； 记为 ri?k 第i行乘k
③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；记为 ri?krj 第j行k倍加到第i行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个m?n矩阵，则
① 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；
② 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
9．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。 且若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价； 若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。 设A,B为m?n矩阵
①A与B行等价??m阶可逆矩阵P，使得PA?B ②A与B列等价??n阶可逆矩阵Q，使得AQ?B
③A,B等价??m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得PAQ?B 利用矩阵的初等变换解矩阵方程
AX?B，X?A?1B，可以： (A?B)?????(E?A?1B)
XA?B，X?BA?1，可以： (AT?BT)?????(E?XT)，从而解出X。 10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为r(A)或R（A）
求法：A?????行阶梯形矩阵B，R（A）=B的非零行的行数。 相关公式：①若A是m?n矩阵，则0?R(A)?min{n,m}
T ②R(A)?R(A) ③A~B?R(A)=R(B)
初等行变换初等行变换初等行变换④若设A为m?n矩阵， Pm,Qn均为可逆矩阵，则r(A)?r(PAQ) ⑤，则max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)?R(B) ⑥若A,B均为m?n矩阵，则R(A?B)?R(A)?R(B)
⑦R(AB)?min(R(A),R(B)) ⑧若 Am?nBn?t?O，则 R(A)?R(B)?n
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11．分块矩阵：主要记住：
（1）分块对角矩阵：设A.为n阶方程，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块， ?A1??其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即A.??????????? ?As??A2?其行列式与逆矩阵具有下述性质： ①A?AiA2?As
?A1?1????????AO②若Ai?0,(i?1,2,?,s)，则A?0，故A可逆，并有:A.?1A2?1?????? ??1?As?③设A是m阶方阵, B是n阶方阵,,且A?a,B?b,则
OB???1?mnab
?A另有：（2）设有分块矩阵H???O?1C??，其中A,B分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵HB?可逆且H?A?1???O?ACBB?1?1?1?? ??A（3）设有分块矩阵H???C?1O??，其中A,B分别为m阶、n阶可逆矩阵，则 B?矩阵H可逆且H?1?A???1??BCA?1O? ?1?B?第三部分 向量组
1． 线性组合：给定向量组A：?1,?2,?,?m，对于任意一组实数，称向量
k1?1?k2?2??km?m为向量组的一个线性组合，k1,k2,?,km称为该线性组合的系数。
给定向量组A：?1,?2,?,?m和向量?，如果存在一组数?1,?2,?,?m，使得 ?=?1?1??2?2???m?m
则向量?是向量组A的线性组合，也称向量?可以由向量组A线性表示 向量?能由向量组A线性表示?方程组x1?1?x2?2??xm?m?? 有解
?矩阵A=（?1,?2,?,?m）的秩等于矩阵B=(?1,?2,?,?m，?)的秩
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2．等价：设有两个向量组A：?1,?2,?,?m及B：?1,?2,?,?s，若B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（?1,?2,?,?m）≌（?1,?2,?,?s） 主要结论：
（1）矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价； 若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价
（2）向量组B：b1,b2,?bl能由向量组A:a1,a2,?am线性表示?存在矩阵K，使得
B=AK?方程AX=B有解 ?R(A)?R(A,B)
（3）向量组A: a1,a2,?am与向量组B：b1,b2,?bl等价? R(A)?R(B)?R(A,B)，
其中，A,B是向量组构成的矩阵
（4）向量组B：b1,b2,?bl能由向量组A:a1,a2,?am线性表示，则 R(b1,b2,?bl)?R(a1,a2,?am) 3．线性相关与线性无关
对向量组A：?1,?2,?,?m，如果存在不全为零的一组数k1,k2,?,km，使得：
k1?1?k2?2??km?m?0 则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关， 也就是说当且仅当k1,k2,?,km都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则?1,?2,?,?m线性无关。 主要结论：
（1）向量组?1,?2,?,?m线性相关?齐次线性方程组有非零解?它所构成的矩阵A=（?1,?2,?,?m）的秩小于m；
同样 线性无关?仅有零解?R(A)?m
?2?(a21,a22,?,a2n)??n?(an1,an2,?ann)（2）n个n维向量?1??a11,a12,?,a1n?，
a11a12a22?an2????a1na2n?ann?0， 线性无关?行列式?0
线性相关?行列式
a21?an1（3）m个n维向量，当维数n?m时，向量组一定线性相关。特别地，n?1个n维向量必线性相关；
（4）若向量组A：?1,?2,?,?m线性相关?向量组B: ?1,?2,?,?m,?m?1一定线性相关；
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