单元测试题一
一．判断正误(20分) 1.{1,2,3,4}={3,2,4,1}. 2.任意集合都有子集.
3.任意两个集合A,B,都有A包含于B或B包含于A. 4.设 A ,B 是两个无限集，则 A-B 一定是有限集． 5.任何无限集合都包含一个可数子集． 6.设A为一可数集合，B是A的所有有限子集构成的集合；则B一定是可数集合. 7.设A为一可数集合，B是A的所有子集构成的集合；则B的基数为c. 8.若A为无限集,B是一可数集, 则 A∪B的基数与A的基数相等.
9.若{An}是一列集合,且An (n=1,2,…)的基数为a,则 ∪{An ∣n ∈N+}的基数是a.
10.设 A ,B的基数都是c,则A∪B的基数一定大于c. 二.选择题(24分)
1．设S,U,V是三个集合, 则 S-(U∩V)=( )
A (S-U)∩(S-V) B (S-U)∪(S-V) C S∩U D S∩V
2．设{Aβ ∣β∈Г}是一族集合,下述关系中正确的是（ ）
A C(∩Aβ)= ∩(CAβ) B C(∩Aβ)= ∪(CAβ) C C(∪Aβ)= ∪(CAβ) D C(∪Aβ)= C(∩Aβ)
3．设An =[-1+1/n, 1-1/n) ( n=1,2,…)，则∪{An ∣n ∈N+}=( ) A (-1,1) B (-1,0) C [0,1] D [-1,1]
4．设An =[0, 1+1/n] ( n=1,2,…)，则∩{An ∣n ∈N+}=( )
A (0,1) B (0,1) C [0,1] D [0,2]
5．设An =(0,n) ( n=1,2,…)，则{An}的下限集为( )
A ? B (0,n) C (0,+∞) D (-∞,+∞)
6．设An =(0,1/n) ( n=1,2,…)，则{An}的上限集为( )
A ? B (0,1/n) C {0} D (0,1)
7. 设{An}是一列集合，其中A2n =E, A2n -1 =F( n?1 ),则{An}的上限集为( )
A E B F C E∪F D E∩F 8． 以下集合中，（ ）是不可数集合 A 所有系数为有理数的多项式集合；
B [0,1]中的无理数集合；
C 单调函数的不连续点所成的集合；
D 以直线上互不相交的开区间为元素的集合 三．证明题(56分)
1．证明: (A-B)∪C=A-(B-C)的充要条件是C?A.
2．设 A ,B 是两个集合,证明:若A-B ～B-A,则A～B.
3．证明：所有以有理数为端点的开区间的全体组成一可数集合. 4．设E是一实数集。若E中任意两点的距离都大于正数a,，证明E至多可数.
5．若E?(0,+∞)是不可数集合,证明:存在a>0,使E∩(a,+∞)也不可数.
6．证明:空间R2中{(x,y)│x?Z,y?Z,Z为整数集}是一个可数集合.
7．设A是一无限集,则存在A??A,使得A? ～A,且A- A? 是可数集.
单元测验一答案
一．判断题
1．正确 2．正确 3．错误 4．错误 5．正确 6. 正确 7. 正确 8. 正确 9. 正确 10. 错误
二．选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．A 7.C 8．B
三． 证明题
（B?C）?A?（cB?cC）?A?(cB?C)?(A?cB)?(A?C) 1证明 ?A??(A?B)?(A?C)
?A?（B?C）?(A?B)?C的充要条件为A?C。
（A?B）?（A?B），B?（B?A）?（A?B），2．证明 ?A?
而（A?B）?（A?B）??， （B?A）?（A?B）??，
又A?B~A?B，A?B~B?A,?A~B
3．证明 把全体有理数点排成一排：r1,r2,?,rn,?
对每个rn及所有的有理数r?rn，显然，开区间族
En?{(rn,r)皆为可列集（注意：r在变化）。
r?rn},n?1,2,?
所有以有理数为端点的开区间的全体组成的集为?En，从而可数。
n?1?aaaa4．?x,y?E,作开区间(x?,x?),(y?,y?),
4444aaaa由于x?y?a,所以(x?,x?)?(y?,y?)??,
4444aa 作映射?：x?(x?,x?),则?为E到直线上互不相交的开区间44
构成之集的一个子集上的双射。而直线上互不相交的开区间构成之集至多可数，故E至多可数。5．证明 用反证法：若结论不成立，则?a?0,E?(a,??)为可数集。
?11由于E?E?（0，??）?E?[?(,??)]??[E?(,??)]，
nn?1nn?1?从而E可数，与题设矛盾。
6．证明 令An?{(x,n)x?Z} 其中n?Z，Z为整数集。显然An是可数集, 并且?An?{(x,y)x?Z,y?Z,Z为整数集}。
n?1?因为可数个可数集的并是可数集，故{(x,y):x?Z,y?Z}是可数集。 7．证明 令M?{a1,a2,a3,?}?A，M1?{a1,a3,a5,?}，M2?{a2,a4,a6,?} 取A??(A?M)?M1?A?M2，由于A?M?A?M，M1?M，
所以A??(A?M)?M1?(A?M)?M?A。显然 ，A?A*?M2是可数集。