高考数学精品复习资料
2019.5
第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(20xx·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|1
＝4，则弦AB的中点到直线x＋2＝0的距离等于 7A.4
B．2
9
C.4
( )．
D．4
?1?解析 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k?x－4?，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线
??1?1?
y2＝x的焦点?4，0?.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋2＝4，故x1＋x2
??7717
＝2，则弦AB的中点的横坐标是4，弦AB的中点到直线x＋2＝0的距离是4＋192＝4. 答案 C
2x2y2
2．(20xx·台州质检)设斜率为2的直线l与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为
( )．
3
A.3
1
B.2
2C.2
1D.3
解析 由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，b2
F2，故|AF1|＝|BF2|＝a，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为
22|AF1||BF2|22b2
2，结合图形易得tan θ＝2＝|CF1|＝|CF2|，故|CF1|＋|CF2|＝a＝|F1F2|＝2
2c，整理并化简得2b2＝2(a2－c2)＝ac，即2(1－e2)＝e，解得e＝2. 答案 C
3．(20xx·临沂二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于 ( )． A．7
B．35
C．6
D．5
解析 点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7. 答案 A
x2y24．(20xx·宁波十校联考)设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝ A．1＋22 C．5－22
B．4－22 D．3＋22
( )．
解析 如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝2m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋2m－2a＝m，得m＝22a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2c2
＝4c，即得(20－82)a＝4c，∴e＝a2＝5－
2
2
2
2
22，故应选C. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
x22?11?5．椭圆2＋y＝1的弦被点?2，2?平分，则这条弦所在的直线方程是________．
??解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
x2x2122
∵A，B在椭圆上，∴2＋y1＝1，2＋y22＝1. 两式相减得：
?x1＋x2??x1－x2?
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
2
y1－y2x1＋x2即＝－， x1－x22?y1＋y2?∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
y1－y211∴＝－2，即直线AB的斜率为－2. x1－x211?1?∴直线AB的方程为y－2＝－2?x－2?，
??即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0. 答案 2x＋4y－3＝0
x2y2
6．(20xx·东北三省联考)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．
c＝2，
??b2
由题意，得?＝1，
a??a2＝b2＋c2，
解析
?a＝2，x2y2
解得?∴椭圆C的方程为4＋2＝1.
b＝2，?x2y2
答案 4＋2＝1 三、解答题(共25分)
7．(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
→·→的值；
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OAOB
→·→＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点． (2)如果OAOB(1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
→·→＝xx＋yy＝(ty＋1)(ty＋1)＋yy ∴OAOB12121212
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
→·→＝xx＋yy＝(ty＋b)(ty＋b)＋yy ∴OAOB12121212＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线l过定点(2,0)．
→·→＝－4，则直线l必过一定点． ∴若OAOBy2
8．(13分)给出双曲线x－2＝1.
2
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；
(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
22
?2x1－y1＝2，
解 (1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则?22两式相减得
?2x2－y2＝2，
到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 所以直线斜率k＝
y1－y2
＝4. x1－x2
故求得直线方程为4x－y－7＝0. (2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y1－y22x
按照(1)的解法可得＝，
x1－x2y
①
由于P1，P2，P，A四点共线， y1－y2y－1得＝， x1－x2x－2
②
2xy－1
由①②可得y＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y
x－2＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0. (3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.
y＝2x－1，??
考虑到方程组?2y2
x－2＝1??
无解，
因此满足题设条件的直线m是不存在的．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(20xx·皖南八校联考)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是 1
A.3
22B.3
C．22
2D.4
( )．
解析 法一 据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.
设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r， 则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r， 所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，
|BD|
则|BD|＝22r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝|AD|＝22.
2y＝8x，?2
法二 直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y＝8x的焦点F(2,0)，由?
?y＝k?x－2?，
可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB