精 品
专题04 和差化积----因式分解的方法（2）
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．
例题与求解
222222 【例l】xy?yz?zx?xz?yx?zy?2xyz因式分解后的结果是（ A．?y?z??x?y??x?z? B．?y?z??x?y??x?z? C．?y?z??x?y??x?z? D．?y?z??x?y??x?z?
）．
（上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．
【例2】分解因式：
（1）a?2b?3c?3ab?4ac?5bc；
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）2x3222?x2z?4x2y?2xyz?2xy2?y2z．
（天津市竞赛题）
解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．
【例3】分解因式x
3?(2a?1)x2?(a2?2a?1)x?a2?1．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：因a的最高次数低于x的最高次数，故将原式整理成字母a的二次三项式．
精 品
【例4】k为何值时，多项式x2?xy?2y2?8x?10y?k有一个因式是x?2y?2?
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．
【例5】把多项式4x?4x?5x?2x?1写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题） 解题思路：原多项式的最高次项是4x，因此二次三项式的一般形式为2x?ax?b，求出a、b即可．
【例6】如果多项式x242432?(a?5)x?5a?1能分解成两个一次因式(x?b)，(x?c)的乘积
（b,c为整数），则a的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于b,c,a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出
b,c,a的值．
能力训练
222A 级
1．分解因式：9a?4b?4bc?c＝___________________________．
（“希望杯”邀请赛试题） 2．分解因式：x3．分解因式：x4．多项式x22?5xy?x?3y?6y2＝_______________________
（河南省竞赛试题）
2?3(x?y)?3?y2?(x?y)＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
?y2?6x?8y?7的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
2） ?2xy?y2?2x?2y?8分解因式的结果是（
A．(x?y?4)(x?y?2) B．(x?y?1)(x?y?8) C． (x?y?4)(x?y?2) D．(x?y?1)(x?y?8)
26．已知x?ax?12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ 5．把多项式x
）．
精 品
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6个 7．若3x?kx?4被3x?1除后余3，则k的值为（ ）． A．2 B．4 C．9 D．10
（“CASIO杯”选拔赛试题）
321322，a?3b?1，则3a?12ab?9b?的值是（ 55224 A． B． C． D．0
9358．若a?b?? ）．
（大连市“育英杯”竞赛试
题）
9．分解因式：
（1）2a?b?ab?bc?2ac；
（吉林省竞赛试题）
（2）(c?a)（3）x3222?4(b?c)(a?b)；
（昆明市竞赛试题）
?3x2?(a?2)x?2a；
（天津市竞赛试题）
2（4）2x?7xy?6y2?2x?y?12；
（四川省联赛试题）
（5）xy(xy?1)?(xy?3)?2(x?y?1)?(x?y?1)2 2（天津市竞赛试题）
10．如果(x?a)(x?4)?1能够分割成两个多项式x?b和x?c的乘积（b、c为整数），那么a应为多少？
（兰州市竞赛试题）
11．已知代数式x
2?3xy?4y2?x?by?2能分解为关于x,y的一次式乘积，求b的值．
（浙江省竞赛试题）
精 品
B 级
321．若x?3x?3x?k有一个因式是x?1，则k＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设x3?3x2?2xy?kx?4y可分解为一次与二次因式的乘积，则k＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
23．已知x?y?4是x?y2?mx?3y?4的一个因式，则m＝________________________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式x32?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，则a?b的值为__________．
（北京市竞赛试题）
25．若x?ax?bx?8有两个因式x?1和x?2，则a?b＝（ ）． A．8 B．7 C． 15 D．21 E．22
（美国犹他州竞赛试题） 6．多项式5x2?4xy?4y2?12x?25的最小值为（
）．
（“五羊杯”竞赛试题）
A．4 B．5 C．16 D．25 7．若M?3x2?8xy?9y2?4x?6y?13（x,y为实数），则M的值一定是（ ）．
2222 A．正数 B．负数 C．零 D．整数
(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设m,n满足mn?m?n?10mn?16?0，则(m,n)＝（
）
A．（2，2）或（－2，－2） B．（2，2）或（2，－2） C．（2，－2）或（－2，2） D．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题） 9．k为何值时，多项式x
10．证明恒等式：a42?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）
?b4?(a?b)4?2(a2?ab?b2)2．
（北京市竞赛试题）
)(x?1)对任意的x均成立，求11．已知整数a,b,c，使等式(x?a)(x?b)?c(x?10)?(x?11c的值．
（山东省竞赛试题）
12．证明：对任何整数x,y，下列的值都不会等于33．
x5?3x4y?5x3y2?15x2y3?4xy4?12y5
（莫斯科市奥林匹克试题）
精 品