1 行列式的定义及性质
]1.1 定义[3
n级行列式
a11a21a12a22a1na2nannanjn(1)的代数和,这里j1j2
an1an2等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积a1j1a2j21,2,jn是
,n的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当j1j2jn是偶排列时,(1)带正号，当
j1j2jn是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成
a11a21a12a22a1na2nann?j1j2???1?jn??j1j2jn?a1j1a2j2anjn
an1an2这里
j1j2?表示对所有n级排列求和.
jn]1.2 性质[4
性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.
性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.
性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.
性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.
性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法
2.1 箭形（爪形）行列式
这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.
例1 计算n阶行列式
a11Dn?11 解 将第一列减去第二列的
1a20010a30100?a2a3an第n列的
1倍，得 anan?0?.
11倍，第三列的倍a2a3?1??an?1a200?1a???1a2?0Dn?0
n10a3010 0an0n?1??ai?a1??i?2aii?2???. ?2.2 两三角型行列式
这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当
b?c时可以化为上面列举的爪形来计算，当b?c时则用拆行(列)法[9]来计算.
例2 计算行列式
a1bDn?bbca2bbcca3bccc. an解 当b?c时
a1bDn?bbba2bbbba3bbbb. an将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即
a1bbb?a1a2?b0Dn?b?a10a3?bb?a1用上述特征1的方法，则有
b00an?b.
00a1?b?b?a1??i?2n1ai?b0a2?b0000a3?b0a?000an?bDn?b?a1b?a1b?a1
?a. n?bb?1a? ???ai?b???i?1i?1nn?b??i1??b?i??b1a?当b?c时，用拆行(列)法[9]，则
x1bDn?bbax2bbaax3baax1bax2bbaax3ba?0a?0a?0b?xn?b
a?bxnbx1b?bbax2bbaax3bax1baa?bbbax2bbaax3b000xn?b
x1?ab?a?b?a0化简得
0x2?ab?a0aaa??xn?b?Dn?1.
xn?1?aa0bDn?b?1x???a2?x?a?n?1?x???an?x??n1. D ?1? b而若一开始将xn拆为a?xn?a，则得
Dn?a?1x???b2?x?b?n?1?x???bn?x??n1 ?2? a. D由?1???xn?b???2???xn?a?，得
n?1?nDn?ax?b?bx?a??????i?. ?ja?b?i?1j?1? 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.
例3 计算行列式
dcDn?ccaa解 将第一行?，第一列?，得
bcbxaabaxabaa?n?2?. xa2dbcbcaDn?2aaaaxaaaaxaaaax.
即化为上2??1?情形，计算得
Dn?d?x?a?n?1??n?1??ad?bc??x?a?n?2.
而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公
共因子的，则用升阶法[8]来简化.
例4 计算行列式
Dn?1?x12x1x2x2x11?x22xnx1xnx2x11?x12x2x1xnx1x2x1x21?x22xnx2x1xnx2xn1?xn2.
解 将行列式升阶，得
10 Dn?0xnx1xnx2xn. 1?xn20将第i行减去第一行的xi?i?2,,n?倍，得 1?x1Dn??x2?xnnx1100x2010xn00. 1这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得
1??xi2i?1x1100x2010xn00 1Dn?000n
?1??xi2.
i?12.3 两条线型行列式
这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.
例5 计算行列式