《基本不等式》教学设计
一、教材分析
本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。 三、教学目标 1、知识与技能
（1）掌握基本不等式，了解推导过程；
（2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题； 2、过程与方法
(1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式；
(2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题； 3、情感、态度与价值观
(1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值； (2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； (3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。
四、教学重难点
重点：基本不等式及应用和证明； 难点：运用基本不等式应用解题。 五、教法与学法
教法：应用启发式教学，以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT辅助教学。
学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。 六、教学过程
【环节一：巧设疑云，导入新课】
【师生活动一】回顾：求函数??（??）=??+??在（0，+∞）上的最小值 提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；
【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S’的大小，有怎样的不等关系？
我们考虑4个直角三角形的面积的和是S1?2ab，正方形的面积为S2?a2?b2。
1
由图可知S2?S1，即a2?b2?2ab．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2?b2?2ab。
【师生活动三】先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形， 再用这两个三角形拼接构造出一个矩形
（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）． 假设两个正方形的面积分别为a和b（a?b）
【设计意图】通过实际问题情境引入，使学生带着问题进入新课，激发学生的学习兴趣。
【环节二：深入学习，探究新知】
【师生活动一】特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？
a?b(a,b?0) 2【师生活动二】用分析法证明基本不等式 ab?证明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要证明 只要证明 a?b?2ab，
即证 a?b?2ab?0，即 (a?b)2?0， 所以
a?b?ab，（当a?b时取等号） 2a?b?ab， 2
【师生活动三】探究基本不等式的几何意义
借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式
ab?ab?a?b(a,b?0)2的
几何解释，通过数形结合，赋予不等式
a?b(a,b?0)2几何直观。进一步领
悟不等式中等号成立的条件。
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD
D?ab aba?b2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。 【师生活动四】求解引入问题
试用基本不等式求函数??（??）=??+??在（0，+∞）上的最小值
【设计意图】以学生为主体，引导学生探究。学生通过自己阅读书本内容，同时通过小组讨论自主学习，有利于学生理解零向量和单位向量概念，同时培养合作学习意识。
【环节三：应用所学，解决问题】 【师生活动一】例1、已知a，b，c为任意实数，求证：??2+??2+??2≥????+????+???? 解：利用基本不等式??2+??2≥2????，当且仅当??=??时取到等号 同理，??2+??2≥2????，当且仅当??=??时取到等号； ??2+??2≥2????，当且仅当??=??时取到等号； 2??2+2??2+2??2>2????+2????+2???? 即??2+??2+??2>????+????+????
当??=??=??时，??2+??2+??2=????+????+???? 综上所述，??2+??2+??2≥????+????+???? 当且仅当??=??=??时取到等号。
【师生活动二】总结使用基本不等式的注意点： （1）是否均为正数 （2）不等号的方向 （3）等号是否能够取到 【师生活动三】练一练：
1、已知x，y为整数，求证：（x+y)（x2+y2）（x3+y3)≥8x3y3
2、已知函数f ?? =4??+?? ??>0,??>0 在??=3时取得最小值，求a的值。 【师生活动四】基本不等式的推广：
??
1
2aba?b1、 若a?0,b?0,则?ab??a?b2
当且仅当a?b时取等号。??
????
??
??
??
a2?b2，2????
2、当????>0时，+≥2，当????＜0时，+≤?2. 3、对于实数??1，??2，?????>0，??2=?=????）
【环节四：归纳总结，梳理提升】
【师生活动】对本堂课所学知识进行梳理总结，对本堂课用到的解题思路以及易错点再做强调。
【设计意图】使学生再次温习本堂课所学内容，理解重点，突破难点。 【环节五：分层作业，巩固练习】 【师生活动】根据习题难易，分层布置作业 七、板书设计 3.4基本不等式 1、重要不等式： 2、基本不等式： 3、基本不等式的几何意义： 例1、 练一练： ??1+??2+?+????
??
≥?? ??1??2?????（当且仅当??1=
基本不等式的推广：