数论问题—整除
整除——当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为0时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a;
倍数和约数——把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；
数的整除特征：
①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……
②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；
③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；
④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；
求满足下面各小题条件的a：(a代表同一个数字) ⑴3a12a
有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？ 例2 ⑵5a12a
⑶9a1a0
例1
有些六位数，组成六位数的六个数字都不相同，而相邻两个数字组成的两位数能被3整除，这样的六位数一共有几个？
如果从5，6，7，8，9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被3，5，7都整除，求这些数中最大的四位数。
例5 例4 例3 有一个五位数a679b，它可被72整除。请问a2＋b2等于多少？
如果七位数2008□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位数是_____。
从1～99中选出连续3个自然数，使得它们的乘积能被30整除，一共有_____种选法。 例7 例6
测试题
1．173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数。依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
2．如果六位数1992□□能被95整除，那么，它的最后两位数是_____。
3．从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有_____个。
4．在724的左边添加一个数码a，右边添加一个数码b，组成一个五位数。如果这个五位数是12的倍数，求a×b的最大值。
5．用6、7、8、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？
6．731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，所填入的这三个数字之和是_____。
答案
1．答案：设这个四位数为173a，当这个数被9整除时，9|(1＋7＋3＋a)，所以a＝7；当这个数被11整
除时，11|(7＋a－1－3)，所以a＝8；当这个数被6整除时，a是偶数，且各位数字和是3的倍数，即3|(1＋7＋3＋a)，所以a＝4。那么填入的这三个数字的和是7＋8＋4＝19。
2．答案：设这个六位数为1992ab，199300?95?2097这个六位数最后两位数是15
3．答案：三个数的和不小于0＋1＋2＝3，不大于2＋4＋7＝13。那么有可能被3整除的是数是：0、1、
11112；2、4、0；2、7、0；4、7、1。总共有三位数C2?C2?3?C3?C2?1?12?6?18个。
85。所以199300－85＝199215能被95整除。
4．答案：因为这个五位数是12的倍数，所以它被3和4整除。根据性质，4b被4整除。b可取0、4、
8，所以b最大可以取8。
另一方面，a＋7＋2＋4＋8＝a＋21被3整除，所以a被3整除，a最大可以取9。当b＝0或4，a都不能取到8。因此a×b的最大值为8×9＝72。
5．答案：根据被11整除的数的特征，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差是11的倍数。
8＋9－6－7＝4，所以只有一种可能即9＋6－7－8＝0。所以有：9768、9867、6798、6897、
117986、7689、8976、8679，一共是8种。即C4?C2?8。