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2.1.4 函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的含义．(难点)
2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 奇函数
阅读教材P47内容，完成下列问题．
1．定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－
x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
2．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( ) 【解析】 (1)×.反例：f(x)＝x，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x不是奇函数．
(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．
(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 偶函数
阅读教材P47～P48“例1”以上的内容，完成下列问题．
1．定义：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－中小学最新教育资料
2
2
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x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
2．图象特征：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图2-1-7所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数
f(x)的增区间．
图2-1-7
【解】 由题意做出函数图象如下：
据图可知，单调增区间为：(－1,0)，(1，＋∞)．
[小组合作型]
函数奇偶性的判断
给出以下结论：
①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
1－x②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；
|x＋2|－2③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；
④h(x)＝x－1＋1－x既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________． 【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是中小学最新教育资料
2
2
2
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偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．
【自主解答】 对于①，∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－
f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数，①正确；
1－x1－x1－x对于②，由1－x≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝，满足g(－
|x＋2|－2x＋2－2x2
2
2
2
x)＝－g(x)，故y＝g(x)是奇函数，②错误；
对于③，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－
x)是偶函数，③正确；
?x－1≥0，?
对于④，由?2
??1－x≥0，
2
解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，
所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确．
【答案】 ①③④
定义法判断函数奇偶性的步骤
[再练一题]
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) 13
(1)f(x)＝x；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝2；
x12
(4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x，x∈[－1,2]；
x(6)f(x)＝x－1.
【解析】 对于(1)，f(－x)＝－x＝－f(x)，则为奇函数； 对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝数；
1
对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
1
－x2
3
2
1
＝2＝f(x)，则为偶函
xx中小学最新教育资料
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对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数； 对于(6)，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝x－1＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是(2)(3)(6)．
【答案】 (2)(3)(6)
2
－x2－1
(1)若函数f(x)＝1
A. 23
C. 4
5
3
利用函数的奇偶性求函数值或参数值 xx＋
x－a为奇函数，则a＝( )
2
B. 3D．1
(2)已知f(x)＝x＋ax＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________. 【导学号：60210043】
【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a； (2)由已知中f(x)＝x＋ax＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．
【自主解答】 (1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)， ∴1
＝1＋a1
， －a5
3
1
∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.
2
(2)∵f(x)＝x＋ax＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x＋ax＋bx，则g(x)为奇函数， ∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 【答案】 (1)A (2)－26
1．由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．
[再练一题] 中小学最新教育资料
5
3
5
3
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1
2．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )
2A．0 5C. 2
B．1 D．5
1
【解析】 由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．
2又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)35＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝. 22
【答案】 C
利用奇偶性求函数的解析式 函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式． 【精彩点拨】 要求函数的解析式，根据题意，只要求当x≤0的函数解析式，由x＞0时，f(x)＝x＋1，可先设x＜0，则－x＞0，结合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)．
【自主解答】 设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x＋1，∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝－x＋1，∴f(x)＝－－x－1， ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
?1＋x，x>0，∴f(x)＝?0，x＝0，
?－－x－1，x<0.
利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．
2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入． 3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．
[再练一题]
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，
f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x(x－2) C．f(x)＝－x(x－2)
B．f(x)＝x(x＋2) D．f(x)＝－x(x＋2)
【解析】 ∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)， 中小学最新教育资料