第三章 多维随机变量及其分布习题
1. 将一枚硬币连抛3次，以X表示出现的正面次数，Y表示出现反面的次数，求X与Y
的联合分布律，并求事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率。
2. 设随机变量X与Y独立，下表列出了(X,Y)的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律
的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
X Y y1 x1 x2 p. j=p{Y=yj} y2 y3 pi .=p{X=xi} 1 1 8 1 81 6X3. 已知X的概率分布为
0?Pk21142?14，分别求Y?2X?2,Z?cos(X)的概率分布 34. 设随机变量X与Y独立，且均服从参数为p的两点分布，即
P{X?1}?p,P{X?0}?1?p.分别求随机变量U?X?Y, V?max(X,Y)的分
布律.并求U与V的联合分布律
5. 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．求 X
的分布律． 6. 设有5件产品，其中2件是次品，从中不放回地抽取两件，分别以?和?表示第一次和
第二次取到的次品数，求(?,?)的联合分布和边际分布
?1x为偶数?7. 设?服从参数为?的Poisson分布，f?x???0 x?0，求??f???的分布列。
??1x为奇数?8. 已知?,?相互独立，且?~B?n1,P?,?~B?n2,P?，求?????的分布。
9.一个电子部件包含两个主要元件，分别以X,Y表示这两个元件的寿命（以小时计），设（ξ,η）的分布函数为
?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)??0?x?0,y?0
其它则两个元件的寿命都超过120小时的概率为 。 10. 设X与Y的联合密度函数为
(1)求参数A，（2）求P(2X-Y<1) ,(3)求分布函数在(,),(,1)两点的值.
11241211.二维随机变量(X,Y)服从分布函数:
?1?(1?x)40?x?1,y?1?1(7?10y?3y2)x?1,|y|?1??20F(x,y)???1(7?10y?3y2)[1?(1?x4)]0?x?1,|y|?1?20?1x?1,y?1?0其它
（1）求(X,Y)的边缘分布函数，（2）求X的概率密度
12．设随机变量（X,Y）具有下列概率密度
?2xy?cx0?x?1,0?y?x?x?0?x?1,0?y?2(1) f(x,y)??，(2)f(x,y)?? 3others?0?其它?0?cx2yx2?y?1?c?1?x?0,|y|??x(3)f(x,y)??, (4)f(x,y)??
其它others?0?0求其中的未知参数c,并求关于X和关于Y的边缘概率密度。
13．若二维随机变量(X,Y)分别服从第2题中的概率密度，判断X与Y的独立性.
?ce?y?1?. 设随机向量（X,Y）具有密度函数，f(x,y)??x2??0(1) 求c,(2)求P{X<2},P{Y>2}
14.二维随机变量(X,Y)的分布函数为
x?1,y?1, 其它?(a?x?2)(1?e?y?1)F(x,y)??b?P{1?X?2,0?Y?1}
x?1,y?1其它，(1)求参数a,b ;(2)求
15 设随机向量（X,Y）在区域D?{(x,y);0?x?1,0?y?2}上服从均匀分布,求X与Y
1的概率 216．设X服从参数??1的指数分布，Y服从参数??2的指数分布，且X与Y独立，求P{X?2Y}.
至少有一个小于17．X1,X2相互独立，且
p{Xi?x}?e?ix,x?0,i?1,2，p{Xi?0}?0,i?1,2
求：(1)P{X1?4,X2?4}；(2)P{X1?X2?1}；（3）X1与X2的联合分布函数。 18.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件\两数之和小于1.2\的概率为多少？
?32?x19已知X的概率密度为f(x)??8??00?x?2其它 求Y=X+1的分布函数和概率密度.
2
?50?|x|?10020已知X的概率密度为 f(x)??x2
??0|x|?100?X设Y?1?X,Z?e求Y与Z的概率密度.
221设电压V?Asin?,其中A是一个已知的正常数，相角?是一个随机变量，在区间（0，?）上服从均匀分布，试求电压V的概率密度.
22. 在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件\两数之和小于1.2\的概率为多少？
?12e?3x?4y23随机变量X与Y的联合概率密度为 f(x,y)??0?x?0,y?0, 分别求
其它 (1)Z?X?Y (2) M?max(X,Y) (3) N?min(X,Y) 的概率密度.
24设随机变量X与Y独立，且X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求：
(1) Z=X+Y的概率密度. (2) M?max(X,Y)的概率密度. (3) N?min(X,Y)的概率密度. (4) U?2X?Y的概率密度.
12y20?y?x?1,求25．设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)???x?0?0E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).
26. 设随机变量X1,X2的概率密度分别为
?2e?2x,f1?x????0,?4e?4x,x?0, f2?x???x?0,?0,2x?0,用数学期望性质求
x?0,（1）E(X1?X2), E(2X1?3X2)。（2）又设X1,X2相互独立，求E(X1X2)。 27. 设随机变量X??x具有密度函数：?f(x)??2?x??0?0?x?11?x?2其他 求EX,DX。
28. 用切比雪夫不等式证明：能以大于９７％的概率相信，掷1000次均匀硬币时，正面出现的次数在400到600之间。
29. 设二元随机变量(X,Y)有密度函数：f(x,y)????2?x?y?0?0?x?1,0?y?1其他求相关系数
?XY。
30. 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中
a,b,c,d均为常数,,ac?0
31. 已知(X,Y)服从二维正态分布，若X~N(1,32)，Y~N(0,42)，且?XY??1，2Z?XY?。（1）求E(Z)，D(Z)；（2）求?XZ；（3）X与Z是否相互独立？为什么？ 32