考前汗水无价，考后泪水无用 专题（二）数列
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解答题
1.等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16 （I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。 解：（I）设{an}的公比为q
由已知得16?2q，解得q?2
（Ⅱ）由（I）得a2?8，a5?32，则b3?8，b5?32 设{bn}的公差为d，则有?3
?b1?2d?8?b1??16解得?
?d?12?b1?4d?321
只要还有明天，今天就永远是起跑线。
考前汗水无价，考后泪水无用 从而bn??16?12(n?1)?12n?28 所以数列{bn}的前n项和Sn?
2.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列
n(?16?12n?28)?6n2?22n
2（II）求数列{an}的通项公式及前n项和Tn。
解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?4a1?2,a2?3a1?2?5,?b1?a2?2a1?3
由Sn?1?4an?2，．．．① 则当n?2时，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1) 又
bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首项b1?3，公比为２的等比数列．
an?1an3?? 2n?12n4（II）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2n?1，? ?数列{an13}是首项为，公差为的等比数列． 2n24a1331n?2??(n?1)?n? ?n， a?(3n?1)?2nn22444评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn?1的关系即可．
第（II）问中由（I）易得an?1?2an?3?2n?1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
an?1?pan?qn(p,q为常数)，主要的处理手段是两边除以qn?1．
总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还
考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
3.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．
在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an? （I）设bn?1nn?1 n2an，求数列{bn}的通项公式 n （II）求数列{an}的前n项和Sn
2
只要还有明天，今天就永远是起跑线。
考前汗水无价，考后泪水无用 分析：（I）由已知有
an?1an11??n?bn?1?bn?n n?1n221*n?N() n?12 利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn?2?（II）由（I）知an?2n?nn, 2n?1nnkk?Sn=?(2k?k?1)??(2k)??k?1
2k?1k?1k?12n而
?(2k)?n(n?1),又?k?1nk是一个典型的错位相减法模型， k?1k?12n易得
n?2kn?2??4 n(n?1)S =?4???nn?1k?1n?122k?12评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
4.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知点（1，
1x）是函数f(x)?a(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)?c,3数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
10001}前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少?
2009bnbn?1 . 1?1?【解析】（1）Qf?1??a?,?f?x????3?3?a1?f?1??c?x21???c ,a2??f2?c?f1?c???, ????????932f3?c?f2?c????? a3?? . ????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1；
a3?233273
只要还有明天，今天就永远是起跑线。
考前汗水无价，考后泪水无用 a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?QSn?Sn?1?n?1?1???2?? n?N* ；
?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?
?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1； 数列
?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，n2Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n2
2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；
?bn?2n?1(n?N*)；
（2）Tn?11111111 ????K????L?b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7(2n?1)??2n?1?1???3?1?n11?1?1?11?1?1?11? ； ????K???1??????????22n?2n1?21?2n?1?2n?1?3?5?25?7?2? ?1??1?2? 由Tn?
n100010001000?得n?，满足Tn?的最小正整数为112. 2n?12009920095.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 数列{an}的通项an?n(cos(1) 求Sn;
22n?n??sin2)，其前n项和为Sn. 33S3n,求数列｛bn｝的前n项和Tn. n?4nn?2n?2n??sin2?cos解: (1) 由于cos,故
333(2) bn?S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)?12?2242?522?(??3)?(??62)?22?18k?5k(9k?4)?, 22k(4?9k)S3k?1?S3k?a3k?,
2?1331??22?(a3k?2?a3k?1?a3k) (3k?2)2?(3k?1)22?(??(3k)))2S3k?2k(4?9k)(3k?1)213k?21?S3k?1?a3k?1????k???,
222364
只要还有明天，今天就永远是起跑线。
考前汗水无价，考后泪水无用 n1???,n?3k?2?36??(n?1)(1?3n),n?3k?1 (k?N*) 故 Sn??6??n(3n?4),n?3k?6?(2) bn?S3n9n?4?, n?4n2?4n113229n?4Tn?[?2??], n24441229n?44Tn?[13???n?1],
244两式相减得
99?n1999n?419n?419n3Tn?[13???n?1?n]?[13?44?]?8??, n2n?32n?11244424221?4813n?. 故 Tn??33?22n?322n?1
6 （2009四川卷理）（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?bn?的通项公式；
4?an(n?N*)。 1?an（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1
1 41?an?1?an?5an?1,即an?1??an
411?数列?an?成等比数列，其首项a1??，公比是q??
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只要还有明天，今天就永远是起跑线。