第五章 大数定律与中心极限定理
复习题 Page194
1、 设?i(i=1,2,?,50)是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为??0.03的泊松分
布。记???1??2????50，试用中心极限定理计算P(??3)。 解：由中心极限定理可认为?~N(E(?),D(?))?N(1.5,1.5)，则
P(??3?)P(??1.51.5??31.5?)?1??(1.531.5)?1??(1.22?5?)1.5。1 0?.88972、 一部件包括10部分。每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。
其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为20?0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。 解：由中心极限定理可认为总长度?~N(E(?),D(?))?N(20,0.025)，则
P(19.?9??2?0.P(?0.1??0.025?0.1)?2?(0.6325?)?1。 0.4730.0253、 一个加法器同时收到20个噪声电压Vk(k?1,2,?,20)。设它们是相互独立的随机变
量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布。V为加法器上受到的总噪声电压，求
P(V?105)
102500)?N(100,)，则解：由中心极限定理可知V~N(E(V),D(V))?N(20?5,20?123V?100105?100P(V?105)?P(?)?1??(0.39)?1?0.6517?50035003 0.34834、 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差
是相互独立的，且它们都在(?0.5,0.5]上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2） 问几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 解：（1）由中心极限定理：误差总和?~N(1500?0,1500?1)?N(0,125)，因此12P(|?|?15)?P(|??0|1515?)?2(1??())?2?(1?0.9099)?0.1802。 125125125（2）由题意得：0.9?P(|?|?10)?P(|??0|1010?)?2?()?1，即n/12n/12n/1210?1.645，即n?444。 n/125、 设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于6的概率为
?p?1，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500到30500次纵摇角度大于36?的概率为多少？
解：由中心极限定理可知：在90000次破浪冲击中，纵摇角度大于6的次数
??~N(E(?),D(?))?N(9000?0P(29500???30500)?P(1312,900?0?0?N)33(30000,，则200 00)?500500???)?2?(3.535)?1?0.9996。
20000200006、 某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工作
等常需停工，设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的且在开工时需电力1千瓦。问应供应该车间多少千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。
解：由中心极限定理可知：在同一时间开工的车床数
?~N(200?0.6,200?0.6?0.4)?N(120,48)，又由题意可知，供应的电力数x应满足：0.999?P(??x)?P(x?120?3.1，x?141.5。 487、 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受。应该检
查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？
解：设检查n个产品，则由中心极限定理可知：其中的次品数
??12048?x?120x?120)??()，即4848?~N(n?0.1,n?0.1?0.9)0?P.??9?P，由题意可知：
??0?n.(0?n.?1?1?n10?)??0?n9?0?0.n1(，即：0?n.09)1100.1?n?10?1.29，n?146。
0.09?n8、 甲、乙两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众
之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？
解：设每个戏院设有n个座位，由题意及中心极限定理可知：每个戏院的观众数
?~N(1000?0.5,1000?0.25)?N(500,250)，因此可得：0.01?P(??n)
?P(??500250?n?500n?500n?500)?1??()，即?2.33，n?537。 2502502509、 已知某厂生产一大批无线电元件，合格品率p?1，某商店从该厂任意选购n?60006?1个这种元件，试问在这6000个元件中，合格品的比例n与之差介于?0.01之间的
6n概率是多少？
解：由中心极限定理可知：6000个元件中的合格品的数目?~N(6000??N(1000,5000)6，因此
P(?nn?|1?615,6000?) 636??100?|P0.?0 1600)00(?P(|??100050006|?6000?0.01)?2?(2.08)?1?0.9624。
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