长沙市一中2019届高三月考试卷(五)
数 学(文科)
(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题p：“x∈R，x2＋1>0”；命题q：“x∈R，sinx＝2”则下列判断正确的是 ( )
A.p或q为真，非p为真 B. p或q为真，非p为假 C.p且q为真， 非p为真 D.p且q为真，非p为假 π
2.要得到一个奇函数，只需将函数f(x)＝sin(x－)的图象
3
( )
ππ
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
63ππ
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
63
3
3.函数f(x)＝2x－的零点所在区间为 ( )
x
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列判断正确的是 ( )
A. x甲>x乙， 且乙比甲成绩稳定 B. x甲>x乙，且甲比乙成绩稳定 C.x甲 5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( ) A.3438 B.43 C. D. 633 6.设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，则以下判断不正确的是 ．．．( ) A.若α∥β，m⊥α，则m⊥β B.若m⊥α，n⊥α，则m∥n C.若α⊥β，α∩β＝n，mα，m⊥n，则m⊥β D.若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β 1 7.下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图 3象，则f(－1)＝( ) 1155A. B.－ C. D.－ 3333 18.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋ m4 的最小值为( ) n 3525 A. B. C. D.不存在 236 选择题答题卡 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.函数y＝2－x＋log3(1＋x)的定义域为 . 10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为 . π 11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝，a＝3，c＝2， 3则△ABC的面积为______. 12.若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于 . 13.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线BD与B′C所成角为 ；直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为 . x-y≥0 14.满足约束条件 x+y≤2 的点P(x，y)所在区域的面积等于 . x+2y≥2 15.若函数y＝f(x)(x∈D)同时满足下列条件： (1)f(x)在D内为单调函数；(2)f(x)的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”. ax＋b－3已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋b. lna ax＋b－3 ①当a＝2时，f(x)＝是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b的最小值为 ； lna②当－1≤a≤1，且a≠0，－1≤b≤1时，g(x)＝ax2＋b是[0,1]内的“保值函数”的概率为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 4π 已知sin(π－α)＝，α∈(0，). 52α (1)求sin2α－cos2的值； 2 51 (2)求函数f(x)＝cosαsin2x－cos2x的单调递增区间. 62 17. (本小题满分12分) 为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人) 社团 模拟联合国 街舞 动漫 话剧 相关人数 24 18 b 12 抽取人数 a 3 4 c (1)求a，b，c的值； (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率. 18. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝2AD. 2 (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD. 19. (本小题满分13分) 某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋500(单位：万元). (1)求利润函数p(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)在经济学中，定义函数f(x)的边际函数Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).求边际利润函数Mp(x)，并求Mp(x)单调递减时x的取值范围；试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3) 20.(本小题满分13分) 1 已知点列B1(1，b1)，B2(2，b2)，…，Bn(n，bn)，…(n∈N)顺次为抛物线y＝x2上的点， 41 过点Bn(n，bn)作抛物线y＝x2的切线交x轴于点An(an,0)，点Cn(cn,0)在x轴上，且点An， 4Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形. (1)求数列{an}，{cn}的通项公式； (2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由. 124 (3)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<. 333an·(＋cn)2 21.(本小题满分13分) 已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t)). (1)若a＝0，b＝3，函数f(x)在(t，t＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围； f(x)1 (2)当a＝0时，＋lnx＋1≥0对任意的x∈[，＋∞)恒成立，求b的取值范围； x2(3)若0 直线OA与直线OB不可能垂直. 数 学(文科)答案 一、选择题 题 号 答 案 二、填空题： 3 9. (－1,2] 10. 0.30 11. 12. 135° 213. 311 14. . 15.① 2 ② 334 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 B 8 A 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 44π3 解：(1)∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵α∈(0，)，∴cosα＝， (2分) 55253 1＋ 541＋cosαα43 ∴sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－＝，(6分) 22552255312π (2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)，(9分) 65224 ππππ3π 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.(11分) 24288π3π ∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(12分) 88 17. (本小题满分12分) 1 解：(1)由表可知抽取比例为，故a＝4，b＝24，c＝2. (4分) 6 (2)设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选 2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)， (B1，B2)共15个， (8分) 其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个， (10分) 8 所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝. (12分) 1518. (本小题满分12分) 解：(1)证明：连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点 故在△CPA中， EF//PA， (3分) 且平面PAD，平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (6分) (2)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，