概率、二项式基本概念回归课本复习材料
基础知识:
1.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 2.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 3.排列数公式
m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*
. (n，m∈N，且m?n)．注:规定0!?1.
(n?m)！m4.排列恒等式
nmnn?1nmm?1An?1;（3）An?An?1?An; n?nAn?1; （4）nAn?mmmm?1（5）An.(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. ?1?An?mAnmm?1(1）An;（2）An??(n?m?1)An5.组合数公式
Cmn=
n！Anmn(n?1)?(n?m?1)*
==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am6.组合数的两个性质
mmn?mm?1m0(1)Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn?1. 注:规定Cn?1.
7.组合恒等式
nn?m?1m?1nnm?1mmmnrCn; （2）Cn?Cn?1; （3）Cn?Cn?1; （4）?Cn（1）C?=2; mn?mmr?0mnrr?1012rnn（5）Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. (6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2. 123n135(7)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. ?Cn?Cn???Cn0?Cn2?Cn4??2n?1. (8)Cnmm8.排列数与组合数的关系An . ?m！?Cn9．单条件排列 以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
m?1①某（特）元必在某位有An?1种；
mm?11m?1m1m?1②某（特）元不在某位有An（补集思想）（着眼位置） ?An?AA?A?AA?1n?1n?1n?1m?1n?1（着眼元素）
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.
n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所
hk有排列数有AhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.
Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.
9．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有
(mn)!. m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)nnnnnN?Cmn?Cmn?C???C?C?nmn?2n2nn?
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到
n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有
nmn1n2N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.
n1!n2!...nm!0n1n?12n?22rn?rrnn10.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb二项展开式的通项
rn?rr1，2?，n). 公式Tr?1?Cnab(r?0，.二项式系数具有下列性质：
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n为偶数，中间一项（第1项）的二项式系数最大；
012n03（3）Cn?Cn?Cn?????Cn?2n; Cn?Cn2?????Cn1?Cn?????2n?; 1nn?1n?1＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋22211.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);
奇数项系数和为[f(1)?f(?1)]； 偶数项的系数和为[f(1)?f(?1)]； 11.等可能性事件的概率P(A)?1212m. n12.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2?An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 13.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
14.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2· An)=P(A1)· P(A2)· P(An)．
kkn?k15.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 P. n(k)?CnP(1?P)16. 如果事件A、B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；
17.如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)； 18.如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是 1－P（A?B）＝1－P(A)P(B)；
n19.样本平均数x?1(x1?x2?????xn)?1?xiS2?1[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2]
nni?1n221n1n22??(xi?x)??(xi?nx2) 规律：kx1+m,kx2+m,?kxn+m的平均数为kx+m.方差为kS. ni?1ni?120抽样方法：①简单随机抽样；②系统抽样（了解）；③分层抽样的各自特点及适用范围；它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中，“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”。如从含有N个个体的总体中，采用随机抽样法，抽取n个个体，则每个个体第一次被抽到的概率为的概率为
1，第二次被抽到N1nn，??故每个个体被抽到的概率为，即每个个体入样的概率为. NNN21体分布的估计 用样本去估计总体。用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差；平均
数反映了一组数据的平均水平，而方差（标准差）是描述一组数据的波动情况，即偏离平均数的大小，或者说数据的稳定性.
22.频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
频数频率频率=.小长方形面积=组距×=频率.所有小长方形面积的和=各组频率和=1.
样本容量组距