第四章 平面向量与复数
第1课时 平面向量的概念与线性运算
一、 填空题
1. 下列命题中正确的是________．(填序号) ① 单位向量的模都相等；
② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ③ 若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b； ④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ⑤ 对任意非零向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 答案：①④⑤
解析：单位向量的模均为1，故①正确；共线包括同向和反向，故②不正确；向量不能比较大小，故③不正确；根据向量的表示，知④正确；由向量加法的三角形法则知⑤正确．
→→→
2. 若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________． 答案：2
→→→→→→→
解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
→→→
3. 已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，则k＝________. 答案：－8
→→→→→→→
解析：若A，B，D三点共线，则AB∥BD，设AB＝λBD.因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，所以λ＝2，k＝－4λ，所以k＝－8.
→→→
4. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，设AB＝a，AD＝b，E为BC的中点，则AE＝________．(用a，b表示)
21答案：a＋b
32
2→→→→→→1→→1?→2→?2→1→21→→→→
解析：BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋?AD－AB?＝AB＋AD＝a＋b.
3?3322?232
→→→
5. 如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝________．
→答案：CF
→→→→→→→→→
解析：由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF.
1→4→→→→
6. (2017·泰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC(λ∈R)，则λ＝
33
________．
答案：－3
1→4→→→→→→→→→→→→→
解析：由AD＝－AB＋AC，可得3AD＝－AB＋4AC，即4AD－4AC＝AD－AB，则4CD＝BD，即BD＝－4DC，
33
→→→→→
可得BD＋DC＝－3DC，故BC＝－3DC，则λ＝－3.
7. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为__________．
2π
答案：
3
→→→→
解析：由|a＋b|＝|a－b|可知a⊥b.设AB＝b，AD＝a，作矩形ABCD，可知AC＝a＋b，BD＝a－b.设AC
1
π2π
与BD的交点为O，结合题意可知OA＝OD＝AD，∴ ∠AOD＝，∴ ∠DOC＝.又向量a＋b与a－b的夹角
33
2π→→
为AC与BD的夹角，故所求夹角为.
3
→1→→
8. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，且CD＝CA＋λCB，则实数λ＝__________．
3
2
答案：
3
解析：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F， →→→则CD＝CE＋CF.
DEAE2→1→→→1→→→
因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB.由△ADE∽△ABC，得＝＝，
33BCAC3
2→→2→
所以ED＝CF＝CB，故λ＝. 33
→→
9. 在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝→
b，则AF＝____________．(用a，b表示)
21答案：a＋b
33
解析：如图，∵ △DEF∽△BEA，∴ DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴ FG∶
→1→→→2→2→→→21
DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴ GF＝b.∵ AG＝AO＋OG＝AC＝a，∴ AF＝AG＋GF＝a＋b.
33333
→→→
10. 向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：① A，B，C共线；② A，B，D共线；③ B，C，D共线；④ A，C，D共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)
答案：④
→→→→→→
解析：由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，e1＋e2不共线，得AB与CB不共线，A，C，D共线，且B不在此直线上．
→??→ABAC?→→?＋11. 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ，→→??|AB
?||AC|?
λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)
答案：内心
→?→?→?→?→ABAC?ABAC?AD→→→??＋＋解析：作∠BAC的平分线AD.∵ OP＝OA＋λ，∴ AP＝λ＝λ′·→→?→→??|AB?|AB→
|AD|?||AC|??||AC|?
→λ′→
(λ′∈[0，＋∞))，∴ AP＝·AD，
→|AD|
→→
∴ AP∥AD.∴ P的轨迹一定通过△ABC的内心．
2
二、 解答题
→→
12. 如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线MN与边AB，AC分别交于M，N两点，且AM＝xAB，→→
AN＝yAC，求x＋y的最小值．
→→→→→→→→→1→→
解：由点G是△ABC的重心，知GA＋GB＋GC＝0，得－AG＋(AB－AG)＋(AC－AG)＝0，则AG＝(AB＋AC)．又
3
→→→→
M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得AG＝λAM＋μAN(且λ＋μ＝1)，则AG＝→→1→→
λxAB＋μyAC＝(AB＋AC)，
3
λ＋μ＝1，??11所以?1于是得＋＝3.
xyλx＝μy＝，?3?
1yx?11?1?yx?4
又由题意x＞0，y＞0，所以x＋y＝(x＋y)?＋?＝?2＋＋?≥(当且仅当＝，即x＝y时，等号
3xy?xy?3?xy?3
4
成立)，即x＋y的最小值为.
3
→
13. 如图，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，D是将OB分为2∶1的一个内分点，DC和OA
→→
交于点E.设OA＝a，OB＝b.
→→
(1) 用a和b表示向量OC，DC；
→→
(2) 若OE＝λOA，求实数λ的值．
→2→
解：(1) 由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB.
3
→→→
由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA. →→→
∴ OC＝2OA－OB＝2a－b，
25→→→
∴ DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.
335→→→→→→
(2) 如题图，EC∥DC.∵ EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，
32－λ－14∴ ＝，∴ λ＝.第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
255
－3
一、 填空题
→→→
1. 已知在?ABCD中，AD＝(2，8)，AB＝(－3，4)，则AC＝____________. 答案：(－1，12)
→→→
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(－1，12)．
2. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能看作基底的是________．(填序号)
① e1＋e2和e1－e2；② 3e1－2e2和4e2－6e1；③ e1＋3e2和e2＋3e1；④ e2和e1＋e2. 答案：②
3
解析：∵ 3e1－2e2＝－(4e2－6e1)， ∴ 3e1－2e2与4e2－6e1共线．
→
3. (2017·苏北四市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是________．
4??3
答案：?，－?
5??5
→
4?AB?3→→→→
解析：∵AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴ 与AB同方向的单位向量为＝?，－?.
5?→?5
|AB|
4. 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 答案：(3，3)
→→→→→
解析：(解法1)由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ)．又
3→→→→→→3→
AC＝OC－OA＝(－2，6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以OP＝OB＝(3，
44
3)，所以点P的坐标为(3，3)．
→
(解法2)设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，
xy→→→→→→→
因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以＝，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共
44
线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．
5. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
5
答案：－
4→→→→
解析：∵ AB＝(a－1，3)，AC＝(－3，4)，根据题意AB∥AC，∴ 4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，
5
∴ a＝－. 4
→→→→→
6. (2017·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s＝________． 答案：0
2?2?→→→2→2→→2→2→
解析：因为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝AB－AC，则r＋s＝＋?－?＝0.
33333?3?
7. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝____________．
答案：(－2，－6)
解析：设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
→→→
8. 如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H.记AB，BC分别为a，b，则AH＝__________．(用a，b表示)
1224答案：a＋b
55
→→→→→→→→?1?→?1?解析：设AH＝λAF，DH＝μDE.而DH＝DA＋AH＝－b＋λAF＝－b＋λ?b＋a?.DH＝μDE＝μ?a－b?.
?2??2?
因此μ?a－b?＝－b＋λ?b＋a?. 22??
1?
?
??
1?
?
14μ＝λ，λ＝，???2?5
由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得?解得?
12??－2μ＝λ－1，??μ＝5.
4
→→?1?24故AH＝λAF＝λ?b＋a?＝a＋b.
?2?5511
9. 若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
ab
1答案： 2→→
解析：AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所111以＋＝. ab2
→→→→→→→→→
10. 如图，|OA|＝|OB|＝1，OA与OB的夹角为120°，OC与OA的夹角为30°.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ
λ
∈R)，则＝____________.
μ
答案：2 解析：过C作OB的平行线交OA的延长线于点D.由题意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴ OD＝2CD.
λ→→→→→→
∵ OD＝λOA，DC＝μOB，∴ λ|OA|＝2μ|OB|，即λ＝2μ，故＝2.
μ
11. 在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的
→→→→→→
实数λ，使得OC＝λOA＋(1－λ)OB成立，此时称实数λ为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”．若
→→→
已知P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3与向量a＝(1，－1)共线，则“向量OP3关于OP1和→
OP2的终点共线分解系数”为________．
答案：－1
→→
解析：设P3(x，y)，由条件易得P1P2＝(－4，2)，P2P3＝(x＋1，y－3)；由P1，P2，P3三点共线，得12
→
－4y＝2x＋2；由OP3与向量a＝(1，－1)共线，得x＋y＝0.
联立方程组解得x＝－5，y＝5. →→→
由OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，解得λ＝－1. 12. (2017·苏北四市期末)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案：充要
解析：由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
二、 解答题
13. 如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与
→→→→→→
CD交于点P.设存在λ和μ使AP＝λAE，PD＝μCD，AB＝a，BC＝b.
(1) 求λ及μ；
→
(2) 用a，b表示BP； (3) 求△PAC的面积．
5