哈尔滨师范大学恒星学院 2010-2011学年 第1学期 Term1 2010-2011 Academic Year Harbin Normal University Star College
试述Hilbert空间、Banach空间、 距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系
摘要:本文介绍了Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系。
关键词:Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间
每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space是完备的线性赋范空间（Banach space）的一个特例.
一、Hilbert空间
有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert空间的概念。
设H是域K上的线性空间，任意x,y?H,有一个K中数(x,y)与之对应，使得对任意x,y,z?H,a?K满足：
⑴正定性：?x,y??0;?x,x??0,当且仅当x?0; ⑵共轭对称性：?x,y???y,x?;
⑶对第一变元的线性性：?ax,y??a?x,y?;?x?y,z???x,z???y,z?. 称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。 从定义可以看出，内积?x,y?对于每一y?H，是H上的一个线性泛函；当
K?C时，对于每一x?H，?x,y?是H上的一个共轭线性泛函，即它是可加的
并且是共轭齐次的：?x,ay??a?x,y?.
定理 1.1.1（Schwarz不等式） 设H是内积空间，则对任意x,y?H有
?x,y?2??x,x??y,y?.
称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert空间.
例1.1.1 Rn是（实）Hilbert空间. 在定义Rn中定义
?x,y????k?k ?x???k?,y???k??Rn?.
k?1n不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为
?2?x????? x???k??Rn.
?k?1?n12??哈尔滨师范大学恒星学院 2010-2011学年 第1学期 Term1 2010-2011 Academic Year Harbin Normal University Star College
因此Rn是Hilbert空间.
例1.1.2 L2??a,b?是Hilbert空间
与l2类似，由Holder不等式，对任意x,y?L2??a,b?，
?x?t?,y?t?dt?(?a2bbax(t)dt)(?y(t)dt)
ab212212b212在L??a,b?上定义内积?x,y???x?t?y?t?dt 有这个内积产生的范数为x?(?x(t)dt) baa由此可知L2??a,b?是Hilbert空间
定理1.1.2 设H是内积空间，则内积?x,y?是x,y的连续函数，即当
xn?x,yn?y,时，?xn,yn???x,y?. 定理1.1.3 设H是内积空间，则对任意x,y?H，有以下关系式成立， 1）平行四边形法则：
x?y2?x?y2?2?x2?y2?；
2）极化恒等式：
?x,y??1?x224?y2?x?y?ix?iy2?x?iy?.
注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。
定理1.1.4 设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X中原来的范数.
二、Banach空间
定义2.1.1 设X是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数: ? :X?R满足条件：
1) 对任意x?X,x?0;x?0,当且仅当x?0； 2) 对任意x?X,及a?K,ax?a x（齐次性） ； 3) 对任意x,y?X,x?y?x?y（三角不等式） . 称 ? 是X上的一个范数，X上定义了范数 ? 称为赋范（线性）空间，记为? X, ? ?，有时简记为X.
在一个赋范线性空间? X, ? ?中通过范数可以自然地定义一距离，
d?x,y??x?y, x,y?X. ?2.1.1?
事实上，由范数公理，对任意
x,y,z?X,d?x,y??x?y??0,且d?x,y??0,当且仅当x?y?0,当且仅当x?y?0，即x?y,d?x,y??x?y?y?x?d?y,x?,d?x,y??x?y?x?z?z?y?x?z?z?y?d?x,z??d?z,y?.
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称赋范空间中这个距离是由范数诱导的距离.这样，赋范空间是一个距离空间，以后凡说赋范空间的距离如无特别说明都指的是由范数诱导的距离.因此，在第一张所讨论的涉及距离空间、拓扑空间的一般概念、性质（如完备性、可分性、紧性等）都可以移植到赋范空间中来.特别地，设?xn?是赋范空间X中的点列，x?X,如果
xn?x?0 ?n???，
称?xn?强（或按范）收敛于x，记为
xn?x ?n???，
或
limxn??n?x.
如果赋范空间是完备的称它为Banach空间.
定理2.2.1、完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价。——可以推广到算子，并且Hilbert space是完备的线性赋范空间（Banach space）的一个特例。
2.2.2、Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示，并且这种表示是一一对应的。
2.2.3、Hilbert space上存在一组正交标准基（f_1，f_2，....），使得所有g∈H均有一个表示：g=∑a_n*f_n，其中的a_n叫做第n个投影或者坐标值，a_n=
2.2.4、自反空间（Hilbert space是其中一种）的有界序列必有弱收敛子序列，这个性质叫做弱紧性。
2.2.5、任何H上的闭线性子空间M均满足射影性质：对任意点 f∈H，存在 g∈M，h∈M的线性补空间，使得 f=g+h。
banach空间和hilbert空间的区别与联系：
1)距离空间是一个可\比较\的空间.这里是点与点比较。
2)Banck空间加入犯数的距离空间,引进\犯数\其好处在于回答,一个事,\大大不过多少,小小不过多少\是在涵数比较中,告诉我们误差的度量. 3)Heibert空间是加入内积的Banach空间,无限维变换,用\谱\去描述无限未知的东西.
例2.1.1 空间C?a,b?。
闭区间上的连续函数空间C?a,b?中按通常方式规定线性运算是一个线性空间，定义x?maxx?t?。不难验证，C?a,b?是一个赋范空间。显然以前我们在
a?t?bC?a,b?中定义的距离正史由范数诱导的距离，作为距离空间它是完备的、可分的。因此，C?a,b?是一个可分的Banach空间
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三、距离空间
定义3.1.1 设X是任一非空集，对X中任意两点x,y有一实数d(x,y)与之对应且满足：
1) d(x,y)?0;且d?x,y??0,当且仅当x?y 2) d(x,y)?d?x,y??（对称性）； 03) d(x,y)?d?x,z??d?z,y. ?（三角形不等式）称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集X称为一个距离空间，记为
?X,d?，在不引起混乱的情形下简记为X.
例3.1.1 考虑区间?a,b?上所有连续函数集，设x?t?,y?t?是?a,b?上任意两个
连续函数，定义
d?x,y??maxx?t??y?t?,
a?t?b由于x?t??y?t?也是?a,b?上的连续函数，因此有最大值.距离公理显然成立.设
x?t?,y?t?,z?t?是?a,b?上任意三个连续函数，则?t??a,b?,
x?t??y?t??x?t??z?t??z?t??y?t? ?maxx?t??z?t??maxz?t??y?t?a?t?ba?t?b?d?x,z??d?z,y?所以
d?x,y??maxx?t??y?t??d?x,z??d?z,y?.
a?t?b?a,b?上的连续函数全体赋以上述距离d是一个距离空间，记它C?a,b?.
例3.1.2 空间S.
设E?R是一个Lebesgue可测集，0?m?E???,考虑E上几乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元.定义
d?x,y??x?t??y?t?1?x?t??y?t?Edt.
这是一个距离空间，把这个空间记为S. 例3.1.3 离散空间D.
设X是任一非空集，在X中定义d如下：
?0, x?y, d?x,y????1, x?y.不难验证d是一个距离，从而?X,d?使一个距离空间，称这个空间为离散空间，用D表示.
定理3.1.1设?xn?是距离空间X中的收敛点列，则： 1) ?xn?的极限是惟一的；
2) 如果x0是?xn?的极限，那么?xn?的任一子列xnk必收敛且以x0为极限.
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四、拓扑空间
拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架.
定义4.1.1 设X是任一集，?是X的子集构成的集族，且满足条件：
1) 集X与空集?属于?; 2) ?中任意个集的并集属于?； 3) ?中任意有穷个集的交集属于?.
则称?是X上的一个拓扑.集X上定义了拓扑?，称它是一个拓扑空间，记为
?X,??.
例4.1.1 设X是任一集，令??是X的所有子集构成的集族，?X,???是一个拓扑空间.
与距离空间一样，在拓扑空间?X,??中可以引进闭集、闭包、邻域等概念.设E?X是一集，如果它的余集CF是开集，则称F是闭集.有deMorgan公式，立刻可得闭集有以下基本性质：
1) 全空间X及空集?是闭集； 2) 任意个闭集的交集是闭集； 3) 任意有穷个闭集的的并集是闭集.
定理4.1.2 设X,Y,Z是拓扑空间，f:X?Y与g:Y?Z是连续映射，则
h?x??g?f?x?? x?X，
是空间X上到空间Z中的连续映射。
每一个距离空间是正规的. 距离空间又称度量空间,它是一种拓扑空间,其上的拓扑由指定的一个距离决定.任意距离空间的距离分析方法,就是将任意距离空间等距嵌入到Banach空间,在线性的Banach空间用计算两凸集间的距离的方法求解最大分类间隔.以上可以得出特殊的Hilbert空间是Banach空间，Banach空间是距离空间，特殊的距离空间是拓扑空间。
参考文献:
[1]《泛函分析》 刘炳初 第二版 科学出版社 2007年7月
[2]《泛函分析内容、方法、技巧》 孙清华 第一版2005年06月