m2x????2xn
所以（6-8）式可写成
22m2z?kmx
或
mz?kmx
（6-9）
即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D=k2l求平距，已知观测视距间隔的中误差ml=±1cm，k=100，则平距的中误差mD=1002ml=±1 m。
二、和差函数
设有函数
z?x?y
式可得
（6-10）
式中x、y为独立观测值，它们的中误差分别为mx和my，设真误差分别为Δx和Δy，由（6-10）
?z??x??y若对x、y均观测了n次，则
?zi??xi??yi将上式两端平方后相加，并除以n得
(i?1,2,?,n)
xy????????????2????2z2x2ynnnn??上式xy中各项均为偶然误差。根据偶然误差的特性，当n愈大时，式中最后一项将趋近于零，于是上式可写成
??
???????????2z2x2ynnn
（6-11）
根据中误差定义，可得
（6-12）
即观测值和差函数的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
【例】 在ΔABC中，∠C=180°－∠A－∠B，∠A和∠B的观测中误差分别为3″和
22m??m?mcAB??5\。 4″，则∠C的中误差
22m2z?mx?my
三、线性函数
设有线性函数
z=k1x1±k2x2±222±knxn （6-13） 式中x1、 x2、?、xn为独立观测值，k1、 k2、?、kn为常数，则综合（6-9）式和（6-12）
式可得
mz2=(k1m1)2＋(k2m2)2+222+ (knmn)2 （6-14）
【例】 有一函数Z?2x1?x2?3x3，其中x1、x2、x3的中误差分别为±3mm、±2mm、
±1mm，则mZ??6?2?3??7.0\。
222四、一般函数
设有一般函数
z?f(x1,x2?xn)
（6-15）
式中x1、x2、?、xn为独立观测值，已知其中误差为mi (i=1,2, ?,n)。
当xi具有真误差Δi时，函数Z则产生相应的真误差Δz, 因为真误差Δ是一微小量，故将（6-15）取全微分，将其化为线性函数，并以真误差符号“Δ”代替微分符号“d”,得
?f?f?f?z??x1??x2????x?x1?x2?xnn ?f式中?xi是函数对xi取的偏导数并用观测值代入算出的数值，它们是常数，因此，上式变成
了线性函数，按（6-14）式得
??f?2??f2mz????x??m1????x?1??22??f?2??m????2??x??n2?2??mn?
2 （6-16）
上式是误差传播定律的一般形式。前述的（6-9）、（6-12）、（6-14）式都可看着上式的特例。
【例】 某一斜距S=106.28m，斜距的竖角??8?30?，中误差ms??5cm、m???20\，求改算后的平距的中误差mD。
解：
D?S?cos?
?D?cos???s?Ssin???
全微分化成线性函数，用“?”代替“d”，得
应用（6-16）式后，得
?m??2mD?cos2?ms2?(S?sin?)2???\????222?20??(0.989)(?5)?(1570.918)??206265???24.45?0.02?24.47 mD?4.9cm
22?m????\在上式计算中，单位统一为厘米，?
????是将角值的单位由秒化为弧度。
§6－4 算术平均值及其中误差
设在相同的观测条件下对某量进行了n次等精度观测，观测值为L1、L2、?、Ln，其真值为X，真误差为Δ1、Δ2、?、Δn。由（6-1）式可写出观测值的真误差公式为
?i?Li?X （i=1,2,?,n）
将上式相加后，得
[?]?[L]?nX
故
X?[L][?]?nn
若以x表示上式中右边第一项的观测值的算术平均值，即
x??L?n
（6-17）
则
X?x????n
上式右边第二项是真误差的算术平均值。由偶然误差的第四特性可知，当观测次数n无限增多时，n????0，则x?X，即算术平均值就是观测量的真值。
在实际测量中，观测次数总是有限的。根据有限个观测值求出的算术平均值x与其真值
???X仅差一微小量n。故算术平均值是观测量的最可靠值，通常也称为最或是值(most probable value)。
由于观测值的真值X一般无法知道，故真误差Δ也无法求得。所以不能直接应用（6-3）式求观测值的中误差，而是利用观测值的最或是值x与各观测值之差V来计算中误差，V被称为改正数，即
V=x-L
（6-18）
实际工作中利用改正数计算观测值中误差的实用公式称为白塞尔公式。即
m???VV?n?1
（6-19）
利用[V]=0，[VV]=[LV]检核式，可作计算正确性的检核。
在求出观测值的中误差m后，就可应用误差传播定律求观测值算术平均值的中误差M，推导如下：
x?应用误差传播定律有
?L??L1?L2nnn???Lnn
12212212212)m?()m???()m?m2nnnnmMx??n （6-20）
2Mx?(由上式可知，增加观测次数能削弱偶然误差对算术平均值的影响，提高其精度。但因观测次数与算术平均值中误差并不是线性比例关系，所以，当观测次数达到一定数目后，即使
再增加观测次数，精度却提高得很少。因此，除适当增加观测次数外，还应选用适当的观测仪器和观测方法，选择良好的外界环境，才能有效地提高精度。
【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-2，试求该段距离的最或是值、观测值中误差及最或是值中误差。计算见表6-2。
表6－2 等精度观测计算
序号 1 2 3 4 5 L（m） 251.52 251.46 251.49 251.48 251.50 V（cm） -3 +3 0 -1 +1 [V]=0 VV（cm） 9 9 0 1 1 [VV]=20 M??精 度 评 定 m??20?2.24mm mn??VV?n(n?1)??L??251.49x?n20?1cm5?4 最后结果可写成x=251.49±0.01（m）。
§6－5 加权平均值及其中误差
此时当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值（6-17）式和中误差（6-19）及（6-20）式来计算观测值的最或是值和评定其精度。计算观测量的最或然值应考虑到各观测值的质量和可靠程度，显然对精度较高的观测值，在计算最或然值时应占有较大的比重，反之，精度较低的应占较小的比重，为此的各个观测值要给定一个数值来比较它们的可靠程度，这个数值在测量计算中被称为观测值的权(weight)。显然，观测值的精度愈高，中误差就愈小，权就愈大，反之亦然。
在测量计算中，给出了用中误差求权的定义公式
Pi??2m2i(i?1,2,?,n) （6-21）
式中P为观测值的权，μ为任意常数，m为各观测值对应的中误差。在用上式求一组观测值的权Pi时，必须采用同一μ值。
当取P=1时，μ就等于m，即μ=m，通常称数字为1的权为单位权，单位权对应的观测值为单位权观测值。单位权观测值对应的中误差μ为单位权中误差。
当已知一组非等精度观测值的中误差时，可以先设定μ值，然后按（6-21）式计算各观测值的权。
例如：已知三个角度观测值的中误差分别为m1=±3″、m2=±4″、m3=±5″，它们的权分别为：
22P1??/m12P2??2/m22P3??2/m3
若设???3\ 则 P1=1
P2=9/16 P3=9/25
若设???1\ 则 P?1=1/9 P?2=1/16
P?3=1/25
上例中P1:P2:P3=P?1:P?2:P?3=1:0.56:0.36。可见，?值取得不同，权值也不同，但不影响各权之间的比例关系。当???3\时，P1就是该问题中的单位权，m1=?3?就是单位权中误差。
中误差是用来反映观测值的绝对精度，而权是用来比较各观测值相互之间的精度高低。因此，权的意义在于它们之间所存在的比例关系，而不在于它本身数值的大小。
对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为L1、L2、?、Ln，相应的权为P1、P2、?、Pn，则加权平均值x就是非等精度观测值的最或是值，计算公式为
x?P1L1?P2L2???PnLn?PL??P1?P2???Pn[P] （6-22）
显然，当各观测值为等精度时，其权为P1=P2=?=Pn=1，上式就与求算术平均值的（6-17）式一致。
设L1?Ln的中误差为m1?mn，则根据误差传播定律，由（6-22）可导出加权平均值的中误差为
M?2P12[P]2m12?P22[P]2m22???Pn2[P]22mn （6-23）
而
mi2M2?Pi
22由（6-21）式，有Pimi??，代入上式得
M2x?2?2(P1?P2??Pn)??P? ?P??2Mx????P? （6-24）
实际计算时，上式中的单位权中误差?一般用观测值的改正数来计算，其公式为:
????PVV?n?1
（6-25）
【例】 如图6-2所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si。求E点的最或是高程及其中误差。
计算见表6-3，计算中的定权公式为Pi=1/Si。
表6-3 非等精度观测平差计算
图6-2水准路线 路线 1 2 3 E点高程H 路线长 (m) 527.459 527.484 527.458 x=527.469 (km) 4.5 3.2 4.0 P?1S V (mm) 10 -15 11 PVV 22.00 69.75 30.25 122 精 度 评 定 0.22 0.31 0.25 0.78 ???122?7.812 mm 7.81?8.840.78mm MF??最后结果可写成HE=527.469±0.009（m）。
思考与练习题
1、 应用测量误差理论可以解决测量工作中的那些问题？ 2、 测量误差的主要来源有哪些？偶然误差具有哪些特性？ 3、 何谓中误差？何谓容许误差？何谓相对误差？
4、 何谓等精度观测？何谓非等精度观测？权的定义和作用是什么？ 5、 何谓误差传播定律？
6、 某圆形建筑物直径D=34.50m，mD=±0.01m，求建筑物周长及中误差。
7、 用长30m的钢尺丈量310尺段，若有尺段中误差为±5mm，求全长L及其中误差。 8、 对某一距离进行了6次等精度观测，其结果为：398.772m，398.784m，398.776m，398.781m，398.802m，398.779m。试求其算术平均值、一次丈量中误差、算术平均值中误差和相对中误差。
9、 测得一正方形的边长a＝65.37m±0.03m。试求正方形的面积及其中误差。 10、
用同一台经纬仪分三次观测同一角度，其结果为β1＝30°24′36″（6测回），
β2＝30°24′34″（4测回），β3＝30°24′38″（8测回）。试求单位权中误差、加权平均值中误差、一测回观测值的中误差。