数学建模作业
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分） 表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.
日期 白昼时间 日期 白昼时间 1月1日 5.59 6月21日 19.40 表1.17 某地一年中10天的白昼时间 2月28日 3月21日 4月27日 10.23 8月14日 16.34 12.38 9月23日 12.01 16.39 10月25日 8.48 5月6日 17.26 11月21日 6.13 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x，以白昼时间为因变量y，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数y作为函数值。根据表1.17的数据，推测A,b和
?Asin(?的值，作非线性拟合得
2?x??)?b365y?6.9022sin(2?x预测该地12月21日的白昼时间为5.49???????)?12.385，365小时。
二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？
解(1)按照2.2节中的“汽车刹车距离”案例，“两秒准则”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是K1的取值不同。
D ～ 前后车距（m）； v ～ 车速（m/s）；
K1 ～ 按照“两秒准则”，D与v之间的比例系数（s）. 于是“两秒准则”的数学模型为： D= K1* v ；(K1=2.0) ;(1.0) 已经知道，刹车距离的数学模型为 d=k1v+k2v;
2 ;(1.1)
比较（1.0）与（1.1）式得 d-D=（k1+k2v-K1）v;
所以当k1+k2v-K1>0时，即前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全；k1+k2v-K1<0时，可以为是不够安全。
代入k1=0.75，k2=0.082678，K1=2.0，计算得到当车速超过15.11889m/s时，“两秒准则\就不够安全了。
(2)
下面的程序及图像也是很好的证明。 源程序：
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 334 22, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;
K1=1.1185;k1=0.75; k2=0.082678; d=d2+d1; plot([0,40],[0,2*40],'--k', [0,40]),hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold off
title('比较刹车距离实测数据、理论值、两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v（m/s）'), ylabel('距离（m）')
(3)
根据汽车的最高速度一般不超过120km/h (约33.3m/s)，k2=0.082678 , k1=0.75 , 33.3*k2+k1=2.753177s + 0.75s = 3.5 s ,所以我认为可以采取“3.5秒准则\。这在理论上和实际上都是比较安全的。
三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
解：
（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为
?cc，则生猪饲养的天数t
发生的相对变化
?tt是
?cc的多少倍，即定义t对c的灵敏度为
△t/t
S（t,c）= 因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为
△c/c△t/tdtc
S（t,c）= =dc ×t ①
△c/c
rp(0)-gω(0)-c
②
2gr
rp(0)-gω(0)c
所以t= -2gr ,所以t是c的减函数
2gr
为了使t﹥0，c应满足rp(0)-gω(0)-c>0 结合①②
c3.2
可得S（t,c）= — = － = －2这个结果表示
rp(0)-gω(0)-c12-0.08×90－3.2
的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2% 。 （2）同理（1）总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为
dQc
S（Q,c）= dc ×Q ③
[rp(0)－gω(0)－c]2
Qmax= ④
4gr
结合③④得 由课本上可知t=
Qmax=－
2×3.22c
=－ =－4这结果表示的意
rp(0)－gω(0)－c12－0.08×90－3.2
思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？
(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解：①解记第k年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得
xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2…
其解为等比数列
xk=x0(1+r)k, k=0,1,2…
当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为
年 较好 中等 较差
0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 33 25 152 115 32
（1）
在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；
（2） （3）
在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值； 在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。
②若每年捕获3只,b=－从上可以得出结论： 3，则列式为
Xk+1=(1+r)xk－b
则山猫在25年内的演变为
年 较好 中等 较差
0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43