第五节 圆锥曲线的综合应用
一、填空题
1. 一个动点到两个定点A，B的距离的差为定值(小于两个定点A，B的距离)，则动点的轨迹为________．
x2y2
2. (2011·海安中学模拟)若椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________． 3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________． x2y24. (2010·天津)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________． 5. 已知P为抛物线y2＝4x的焦点，过P的直线l与抛物线交于→|·→|＝|AQ→|·→|，则点Q总A，B两点，若Q在直线l上，且满足|AP|QB|PBx2y2在定直线x＝－1上．试猜测：如果P为椭圆25＋9＝1的左焦点，过
→|·→P的直线l与椭圆交于A，B两点，若Q在直线l上，且满足|AP|QB→|·→|，则点Q总在定直线________上． |＝|AQ|PB6. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 7. (2010·重庆)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满→＝3FB→，则弦AB的中点到准线的距离为________． 足AF8. 已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若F1A＝2F1B，则椭圆的离心率为________． 9. (2010·河北衡水中学仿真试卷)已知倾斜角α≠0的直线l过椭x2y2
圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F且交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为________(从“钝角、直角、锐角、都有可能”中选择填空).
二、解答题
x2y2
10. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线a2－b2＝1的一个焦
?3??点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为2，6?.求??
抛物线与双曲线的方程．
11. 如图，已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为22，求m6＋m4的值．
x2y212. 如图，已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线(2－k)x－(1＋2k)y＋(1＋2k)＝0(k∈R)所经过的3定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝2. (1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为
→·→的值，并由此判断直线QN与以AB为直径MB的中点．试求OQNQ的圆O的位置关系．
参考答案
1. 双曲线的一支 解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支． 23b32. 55 解析：由题意可知FF2=8F1F2，即c-2=8?2c，化简得c=2b，
c2所以c2=4(a2-c2)，此椭圆的离心率e=a=55. 3. x2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y=1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x2=-4y.
x2y2b
4. 4-12=1 解析：由渐近线方程可知a=3，① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c=4，② 又c2=a2+b2，③
22xy
联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为4-12=1.
25
5. x=-4 解析：x=-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q
25
所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x=-4. p
6. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y=x-2，
2y?=2px，p22
联立有??x-3px+4=0， p
?y=x-2
由AB=x1+x2+p=8，得4p=8?p=2. 87. 3 解析：如图，过点A、B作准线的垂线交准线于A1B1，过B作BC⊥AA1于C，设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=3， 直线AB方程为y=3(x-1)，与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0， x1+x258所以AB中点到准线距离为2+1=3+1=3. 28. 3 解析：如图，过B作AC的垂线，垂足为E，由题意和椭AEDB12圆第二定义可知E为AC的中点，cos 60?=AB=3BF=3e，故e=3. 1
9. 锐角 解析：设点A、B到右准线的距离分别为d1，d2，该椭圆的离心率为e，根据椭圆的第二定义可得AF=ed1，BF=ed2，则A、
d1+d2ABe?d1+d2?
B的中点到右准线的距离为2，又2=2，椭圆的离心率0
ABe?d1+d2?d1+d2＜e＜1，∴2=2＜2，即以AB为直径的圆的半径小于圆心到右准线的距离，亦即右准线与以AB为直径的圆相离，∴点P必在
以AB为直径的圆外，∴∠APB必为锐角．
10. 由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物
?3?2
??代入得p=2，故抛物线方程为，6线方程为y=2px(p>0)，将交点2??
y2=4x，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c=1.又点?3?96?，6?也在双曲线上，因此有2-2=1.
4ab?2?
2
134y
又a2+b2=1，解得a2=4，b2=4，因此，双曲线的方程为4x2-3=1.
p11. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，2=-m，将x=my-m代入抛物线方程整理得y2-2pmy+2pm=0，由韦达定理得y1+y2=2pm，y1y2=2pm， ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2，又△OAB的面积 1p1S=2?2|y1-y2|=2?(-m)?4m4+m2=22，两边平方即可得m6+m4=2. 12. (1)将(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0整理得 (-x-2y+2)k+2x-y+1=0. ??-x-2y+2=0，解方程组?得直线所经过的定点(0,1)，所以b=1. ?2x-y+1=0，?3由离心率e=2得a=2， x22所以椭圆的标准方程为4+y=1.