金陵中学 2010—2011学年度高三第一学期期中考试
数 学 试 题
注意事项：
考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。
1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接
填在答题卡相应位置上． 1．设集合M={x|0≤x-≤1}，函数f(x)?11?x
的定义域为N，则M∩N= 。 2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z= ． 3．函数y=x2—2x (x∈[0，3]的值域是 4．已知cosa??5。且a∈（一，0），
23则sin(??a)= 。
5．在△ABC中，AB=3．A=45°，B=75°， 则BC等于 。 6．已知直线y?1x?b是曲线y=lnx(x>0)的 2一条切线，则实数b的值是 。
7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n是100，则输出值S是 。
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8．已知集合A=(x，y）|x一2y一l=0},B={(x，y)|ax-by+1=0}，其中a，b∈{1,2，3，4，5，6}，则A∩B=?的概率为 . 9．函数f(x)?Asin(?x??) (其中A>0,??0,|?|??2)的
图象如图所示，则，f(0)= 。 10．已知f(x)?x3?ax在区间[1，+∞） 上是单调增函数，则实数a的最大值是 。
1|?a?4?0对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是 。 x????????112．已知向量m?(1,1),n?(0,)，设向量OA?(cos?,sin?)(??[0,?]),且m?(OA?n)，则
511．不等式|x?tan?? 。
13．设a?1，若函数f(x)?loga(ax2?x)在区间[,4]上是增函数，则a的取值范围
是 。 14．对于函数f(x)?12x，下列结论正确的是 。
1?|x|
①?x?R,f(?x)?f(x)?0;
②?m?(0,1),使得方程f(x)?m有两个不等的实数解； ③?k?(1,??),使得函数g(x)?f(x)?kx在R上有三个零点； ④?x1,x2?R,若x1?x2,则f(x1)?f(x2).
二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
15．已知f(x)?cos2x?sinx(sinx?23cosx),x?R. （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）若f(x)?
2
8??,且x?[,]，求sin2x的值。 542
16．如图，?ABC为正三角形，EB?平面ABC，AD//BE，且BE=AB+2AD，P是EC的中点。
求证：（1）PD//平面ABC；
（2）EC?平面PBD。
17．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用
方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1?4?at(0?a?4,a为常数)，若使用口服方式给3药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：
?t,0?t?1,?现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药y2??2?3?,1?t?31?t?3.t?物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。
（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围。
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18．设m?Z，函数f(x)?x?2m2?m?3,g(x)?logm?1x?23,且f()?1. 2?x5 （1）求m的值，并确定函数f(x)的奇偶性； （2）判断函数g(x)的单调性，并加以证明。
19．已知函数f(x)?ax?ax和g(x)?x?a,其中a?R且a?0.
（1）若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值； （2）若p和q是方程f(x)?g(x)的两根，且满足0?p?q? 当x?(0,p)时,g(x)?f(x)?p?a.
21,证明： a 4
20．若存在实数k，b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x同时满足：
f(x)?kx?b且g(x)?kx?b，则称直线：l:y?kx?b为函数f(x)和g(x)的“隔离
直线”。已知f(x)?x2,g(x)?2elnx（其中e为自然对数的底数）。试问： （1）函数f(x)和g(x)的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说
明理由；
（2）函数f(x)和g(x)是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；
若不存在，请说明理由。
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