求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
摘要
在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。QR 方法是一种变换方法，是计算
一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue And
Eigenvector
ABSTRACT
Values in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.
Key words: eigenvalue; eigenvector; QR decomposition
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
目 录
1 绪论……………………..………………………………………………………………….1 1.1 问题重述……………………….......………………………...………………………1 1.2研究方法…………………………………………………………………………1 2 QR方法………………................………....................................................…...3
2.1 QR分解的概念………........................................…….…………………….......….....3 2.2 Givens方法…........…...................................................……….……………..3 2.3豪斯霍尔德方法 （镜像变换）............................................……….……………..5
2.2.1 Householder 矩阵 和Householder变换…….........................………...5 2.2.2 QR算法…………........................………………………………………....…6
3 QR算法C实现过程 ….............….....................…………….………………..……….......8
3.1 主要参数………........................................…….…………………….......…..............8 3.2 组成模块…........…...................................................……….…………......…..8 3.3 程序改错............................................................……….…………....…..8 4 测试运行………………………………………………………………………………...11 参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
1 绪论
1.1 问题重述
（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR方法求实对称三对角矩阵全部特征值和
特征向量的通用子程序。
（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从70到80阶）
?41??141??? A?????? （1.1）
??141???14???的全部特征值和特征向量。
1.2研究方法
在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。在1955年的时候，人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到1965年它的计算——基于QR方法的程序已经完全成熟。直到今天QR方法仍然是特征值计算的有效方法之一。
设A是n?n阶矩阵，如果数?和n维非零向量x满足
Ax??x
（1.2）
则?称为矩阵A的一个特征值，x称为矩阵A的属于?的特征向量。
由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确
解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。故在工程技术上，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法，得到其在某一精度水平上的近似解。常用的算法有：幂法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。
通过这次课程设计实现用QR方法求解实对称三对角矩阵的全部特征值和特征向量。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效
方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.
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求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
对矩阵A进行拟上三角化得到A(n?1)后，使用带双步位移的QR方法的迭代公式为：
A1?A(n?1)Mk?Ak2?sAk?tIMk?QkRk (对Mk作QR分解)TAk?1?QkAkQk （1.3）
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