金融经济学思考与练习题（一）
1、在某次实验中，Tversky 和Kahneman 设计了这样两组博彩： 第一组：
博彩A：（2500，0.33； 2400，0.66；0，0.01） 博彩B：（2400，1） 第二组：
博彩C：（2500，0.33； 0，0.67） 博彩D：（2400，0.34； 0，0.66）
实验结果显示，绝大多数实验参与者在第一组中选择了B，在第二组中选择了C，Tversky 和Kahneman 由此认为绝大多数实验参与者并不是按照期望效用理论来决策，他们是如何得到这个结论的？
解：由于第一组中选择B说明
1（2400）?0.33(2500)+0.66(2400)+0.01(0) 相当于
0.66（2400）+0.34（2400）?0.66(2400)+ 0.34{根据独立性公理，有 1（2400））?33343334 (2500)+
134 (0)}
134 (2500)+ (0) (*)
第二组选择C说明
0.33（2500）+0.67(0)?0.34(2400)+0.66(0) 相当于 0.34{
33343334 (2500)+
134134 (0)}+0.66(0)?0.34(2400)+0.66(0)
根据独立性公理，有 (2500)+
(0) ?1(2400) (**)
(*)与(**)矛盾，因此独立性公理不成立，绝大多数参与者不是按照期望效应理论决策。
2、如果决策者的效用函数为,u(x)?x1??1??,??1，问在什么条件下决策者是风险
厌恶的，在什么条件下他是风险喜好的？求出决策者的绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数。
解：u'(x)?x??,u\(x)???x???1 绝对风险厌恶系数：
RA??u\(x)u'(x)??x?1
相对风险厌恶系数：
RR??u\(x)xu'(x)?1??xx??
当?>0时，决策者是风险厌恶的。当?<0时，决策者是风险喜好的。
3、决策者的效用函数为指数函数u(x)?1?e??x?, ，问他的绝对风险厌恶系数是
否会随其财富状态的改变而改变？
投保者与保险公司的效用函数均为指数函数，且投保者的?=0.005，保险公司的?=0.003，问投保者与保险公司谁更加风险厌恶？ 解：RA??u\(x)u'(x)????ee??x??x??
由于投保者的绝对风险厌恶系数为0.005，而保险公司为0.003，因此投保者更加厌恶风险。
4、在上例中，如果存在一种风险，其损失值服从参数值为0.01 的指数分布，那么投保者为规避这个风险愿意付出的最大保费为多少？保险公司至少收取多少保费才愿意为这种损失提供保险？
解：假设投保者的初始财富为w，则投保者为了避免这种风险愿意付出的最大保费为P，则
u(w?P)?1?e?0.005(w?P)?0.005?Eu(w??)??01?e?0.005(w?x)0.0050.01e?0.01xdx
??e?0.005(w?P)??e?0.005w0.01?e00.005xe?0.01xdx??0.01e?0.005w?e0?0.005xdx
e0.005P?0.010.005?2?p?ln20.005?138.6
假设保险公司的初始财富为w，则保险公司为了承担这种风险必须收取的最小保费为P，则u(w)??1?e?0.003w?0.0030.01e?Eu(w?P??)???0.01x?01?e?0.003(w?P?x)0.0030.010.007
0.01e?0.01xdx
e0.003P??0e?0.003(?x)1dx??0.01e0?0.007xdx?P?118.9
15、投资者A 的初始资产为零，其效用函数为u(y)?y2，如果A 来说，参加博彩
L =(100；36：0.5)与获得无风险的x 元是无差异的，求x 的值。
1解：u(x)?x2?Eu(L)?12100?1236?8?x?64
6、 拥有初始财富 w 元人民币的驾驶员决定是否合法停车。如果她决定合法停车，她将保留她的初始财富 w。如果她决定非法停车，有两件事情会发生。首先，她将节省时间，所节省的时间对她的价值为 s 元人民币。无论她是否因非法停车而得到罚单，她都会在初始财富 w 的基础上加上这 s 元。其次，她有可能收到罚单，得到罚单的机率为 p。如果她收到了罚单，她必须缴纳 f 元罚金。 她的VNM效用函数是货币的严格增函数，且处处连续、二阶可导，严格凹。该驾驶员的目标是最大化其预期效用。
(a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题。合法停车是一个“安全博彩”：司机将肯定得到 w。写出与非法停车相对应的“风险博彩”。画出分别与“安全博彩”和“风险博彩”相对应的概率树。
(b) 如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满足什么关系？
(c) 我们定义 S(p, f ) 如下：给定机率 p 和罚金 f，当司机非法停车所节省的时间对司机的价值为S(p, f )时，非法停车与合法停车对司机而言没有分别。写出定义函数S(p, f)的数学恒等式。用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策规则：
如果 S(p, f ) > s，合法停车。 如果 S(p, f ) < s，非法停车。
如果 S(p, f ) = s，合法停车与非法停车对司机而言等价。
(d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析。p 和 f 的变动会对 S(p, f ) 造成怎样的影响？判定各表达式的符号，这些符号与司机的决策有什么关联？
(e) 证明 S 对 f 的弹性大于 S 对 p 的弹性。（提示：你已经得到了 ?S/?p 和?S/?f 的表达式。运用二阶泰勒展开式和VNM效用函数严格凹的事实。）
(a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题。合法停车是一个“安全博彩”：司机将肯定得到 w。写出与非法停车相对应的“风险博彩”。画出分别与“安全博彩”和“风险博彩”相对应的概率树。 解：安全博彩
1
w
风险博彩
p
w+s-f
(b) 如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满足什么关系？
假设司机的效用函数为v,如果司机最终决定合法停车，那么 s 和 f 之间必须满
1－p w+s
足v(w)?pv(w?s?f)?(1?p)v(w?s).
(c) 我们定义 S(p, f ) 如下：给定机率 p 和罚金 f，当司机非法停车所节省的时间对司机的价值为S(p, f )时，非法停车与合法停车对司机而言没有分别。写出定义函数S(p, f)的数学恒等式。用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策规则：
v(w)?pv(w?S?f)?(1?p)v(w?S)
所决定的S为S(p, f )，此时非法停车与合法停车对司机而言没有分别。
如果 S(p, f ) > s，合法停车。 如果 S(p, f ) < s，非法停车。
如果 S(p, f ) = s，合法停车与非法停车对司机而言等价。
(d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析。p 和 f 的变动会对 S(p, f ) 造成怎样的影响？判定各表达式的符号，这些符号与司机的决策有什么关联？
0?pv'(w?S?f)?S?p?v(w?S?f)?(1?p)v'(w?S)?S?p?v(w?S)
v(w?S)?v(w?S?f)??pv'(w?S?f)?(1?p)v'(w?S)??S?p
?S?p?v(w?S)?v(w?S?f)?pv'(w?S?f)?(1?p)v'(w?S)??S?p
由于效用函数为单调增函数，因此，>0,说明如果得到罚单的几率越高，那么司机要求节
省时间带来的效应越大才会违法停车。
??S??Spv'(w?S?f)?0?pv'(w?S?f)??1，??1?0 ???fpv'(w?S?f)??f?这说明如果罚单处罚越严重，司机要求节省时间带来的效应越大才会违法停车。
(e) 证明 S 对 f 的弹性大于 S 对 p 的弹性。（提示：你已经得到了 ?S/?p 和 ?S/?f 的表达式。运用二阶泰勒展开式和VNM效用函数严格凹的事实。）
?Sp?pS?Sf?fS?Sf?v(w?S)?v(w?S?f)p?pv'(w?S?f)?(1?p)v'(w?S)?SfS
?pv'(w?S?f)fpv'(w?S?f)S?
f?v'(w?S?f)?(1?p)?v\(w?S?f)f???fS? ?Sp1?2??v'(w?S?f)f?v\(w?S?f)f?p?pS2???Sf若f比较小，则其高阶无穷小量可以忽略，可得
?Sf?Sp1?fS>1，说明>. ??Spp?fS?pS?pS
7、试证明，如果风险证券x 一阶随机占优于风险证券y ，则x 也必定二阶随机 占优于y 。
证明：如果x一阶随机占优于y则，对任意的收益率t，
Fx(t)?Fy(t)，则Fx(t)?Fy(t)?0因此，对任意的z有
??F0zx(t)?Fy(t)?dt?0成立
因此x二阶随机占优于y。