第四章习题试解
1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色
散关系。
解：设原子质量为m，周期为a，第n个原子偏离平衡位置的位移为μn，第n-k及n+k个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k，μn+k，其与第n个原子间的弹性恢复力系数为β-k，βk。
n-k n-1 n n+1 n+k
显然：?k???k
第n 个原子受n-k 和n+k原子的合力为：
fnk??k(?n?k??n)???k(?n??n?k)??k(?n?k??n?k?2?n)
第n 个原子受所有原子的合力为：
fn???k(?n?k??n?k?2?n)
k振动的运动学方程可写为：
m?k???k(?n?k??n?k?2?n)
k代入振动的格波形式的解 有 m(i?)Ae 色散关系即为
2i(qna??t)?nq?Aei(qna??t)
k???k(Aei[q(n?k)a??t]?Aei[q(n?k)a??t]?2Aei(qna??t))
kk?m?2???k(eiqka?e?iqka?2)??2?k(cosqka?1)
?2??k2?k4qka(1?cosqka)???ksin2 mmk22. 聚乙烯链…—CH＝CH—CH＝CH…的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2，原子链的周期为a。证明振动频率为
??2qa4??sin112?1??2?22)2? ??1?(1???M?(?1??2)2???证：如图，任意两个A原子（或B原子）之间的距离为a，设双键距离b2，单键距离b1
…—CH＝CH—CH＝CH—CH＝CH—CH＝CH—CH＝CH…
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 A B A
b2 b1
只考虑近邻作用的A，B两原子的运动方程为 A：
M?2n??2(?2n?1??2n)??1(?2n??2n?1)
)?(1?n2??2?n?2)?1?(2?n?2?1?n2 B： M?2n?1?将格波解
?2n?Aei(qna??t) 和?2n?1?Bei[q(na?b)??t] 代入以上运动方程，有
2i?qna??t?i?(qna?b2)??t?i?qna??t????1?Aei?qna??t??Bei?(qna?b1)??t?? ??2?Be?Ae???? ?M?Ae化简得： (?1??2?M?2)A?(?1e同理： ?(?1eiqb1?iqb1??2eiqb2)B?0
??2e?iqb2)A?(?1??2?M?2)B?0
化为以A、B为未知数的线性齐次方程组，它的有解条件是 从而得到
(?1??2)?M?2?(?1eiqb1?(?1e?iqb1??2eiqb2))M??(?1??2)2??2e?iqb2?0
[(?1??2)?M?2]??12??22??1?2e?iq(b1?b2)??1?2eiq(b1?b2)??????1?2[e2122?iqa?e]?????2?1?2cos(qa)iqa2122
qa?qa2???12??22?2?1?2?1?2sin2()????1??2??4?1?2sin2()2?2?
1??2qa????4?1?2sin2?????22?2? 1??1? ??1?2M??(?1??2)??????????
3. 求一维单原子链的振动模式密度g(ω)，若格波的色散可以忽略，其g(ω)具有什么形式，
比较这两者的g(ω)曲线。
解：一维情况q空间的密度约化为L/2π，L=Na为单原子链的长度，其中a为原子间距，N为原子数目。则在dq间隔内的振动模式数目为
Ldq。dω频率间隔内的振动模式数目为 2?n?2?Ldq?d? 2?d?等式右边的因子2来源于ω（q）具有中心反演对称，q﹥0和q﹤0区间是完全等价的。从而有
g(?)?L1 ?d?dq对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有
?(q)?4?11sinqa??msinqa m221d?1aa222??mcos(qa)????m??? dq222其中ωm为最大频率。代入g(ω)得 g(?)?考虑ω=cq（德拜近似）
由q?0（德拜近似下）, 有
2N?(???)
2m2?12?(q)?14?111sinqa??m?qa??ma?q 即c??m?a
2m222则有：
d?1??m?a dq2g(?)?Na1?1?am2???0?2N??m?1 （常数）
考虑ω=ω0（爱因斯坦近似）
显然有g????????0
???0
4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012 N·m-2，密度ρ=3.5g·cm-3。试估算它的德
拜温度ΘD=？ 解：德拜温度 ?D??DkB
gj(?)?3VV1?2V22g(?)???， 4?()??233232?c(2?)cc2?c??m0g(?)d??3N
NV?D?C[6?2()]1/3
?杨氏模量?近似看作弹性介质时，C????密度?m1/21012N?m?2==1.69?104m/s 3?33.5?10kg?m每摩尔原子数目为N=6.02×1023，摩尔质量m=12g，则摩尔体积
V=??3.43cm?3
代入，得 ωm=57.97×1013 最后得 ΘD=4427K
5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。 解：根据量子理论，各简谐振动的零点能为
德拜近似下
1? 2g(?)?3V2? 232?C总零点能为
E???m01?g(?)d?23V?4?2C3??m03V14?3d??23?m4?C4
由自由度确定的
?m?C[6?2(N1/3)] 代回上式中 VE?
63N141N8141N814?????m364?2C3N4m6?2C3N16m?m16 VV?
9N?m86. 一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在T﹤﹤ΘD=1000K时，cV=10-1T3J·m-3·K-1） 解： ?D?此时声速 v??mkB→ωm=1.31×1014
??在λ与晶格常数10-10m近似时约为2.09×103，近似作为平均声速代入 2?1c?l??5.643?103 3热导率 ??
7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在[100]方向可以
看做是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nm。NaCl晶体的杨氏模量为5×1010N·m-2，如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等，求对应的光波波长。
解：当q=0时，光频支频率为 ???2? mM()m?M?9杨氏模量?a?5?1010，且a?0.28?10m 故??1.79?1020，再同两原子质量一同代入频率式
3.57?1020?1.23?1023 ???2.361026则波长??2?c0?=1.53×10-14m
8. 立方晶体有三个弹性模量C11，C12和C44。铝的C11=10.82×1010N·m-2，C44=2.85×1010N·m-2，铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度?l?C11?3，横波速度?t?C44?，Al的密度
ρ=2.70×103kg·m-3。求德拜模型中铝的振动模式密度g(ω)。 解：由题条件知?l?6.33?10，?t?3.25?10
3112?11?(?)?1.1?10 333?3?l?t若所考虑的晶体体积为V，则
1g(?)?3V2?122??5.3?10V? 2??3