H2=1(5)
这里,H就是分形函数Z(x)的一个特征性的参数. 式(5)可写成
2C1
4-2Dsin[π2(2D-3)]Γ(2D-3) = H2D-2 (6)
将式(6)代入式(4),得
E[Z(x+λ)-Z(x)]2= H2D-2|λ|4-2D 1< D <2(7)
对于W-M函数,我们根据它的功率谱函数式 (2),可以得到该函数的方差的期望 E[Z(x+λ)-Z(x)]2=∫∞-∞S(ω)(eiωl-1)dω= A2(D-1)
(4-2D)lnγsin[π2(2D-3)]Γ(2D-3) |λ|4-2D (8)
比较式(8)和式(7)可得 H = BA (9) 这里B = [ Γ(2D-3)sinπ2(2D-3) (4-2D)lnγ]12D-2
(10)
从上式看出,H和A具有一一对应的关系,所 以,特征长度A是表面轮廓上沿x方向上的某段长 度,它能使轮廓的方差的期望具有统计为1的性质. 2 机械加工表面的分形维数和轮廓的 分形维数间的关系
分形曲面维数可通过小岛法、HOT(hurst ori- ented transfer)、2DFFT等方法确定.但这些方法存 在一些缺陷,如理论不完善、操作困难或计算量较大 等.而分形曲线的研究较为成熟,所以我们在本文中 用轮廓的分形维数反映表面维数.
分形表面分为各向同性和各向异性表面.各向 同性指在表面的任何方向,任何轮廓具有相同的统 计特性;而各向异性表面指表面上沿不同方向的轮 廓具有不同的统计特性.对于各向同性分形曲面有 Ds= DL+1(11)
式中 Ds为表面维数; DL为表面上任一轮廓的线 维数.
对于各向异性表面,如果其任意两条正交轮廓 相互独立或相关性很弱,则由Mandelbrot的结论[3] 得 Ds=Dver+Dhor(12)
其中 Dver、Dhor指表面相互正交轮廓的维数. 机械加工表面如抛光、研磨、喷丸等一般是各向 同性的,因此可直接求其表面轮廓的分形维数,进而
由式(11)得到表面的分形维数.精车、王行磨、平磨等 所加工的表面呈各向异性,我们以平磨作为代表进 行研究,发现表面正交轮廓相关系数很小,即相关性 很弱[2],因此可由式(12)建立表面维数和轮廓维数 之间的关系.
3 表面轮廓的分形参数和粗糙度 指标间的关系
粗糙度作为目前机械加工表面精度评定的重要 指标,是建立在一定的测量条件上的,即它受取样长 度以及测量分辨率的影响.作者选常用的指标——— 轮廓均方根偏差Rq作如下分析. Rq= [1L∫L0Z2(x)dx]1/2(13) 由于
E[Z2(x)] =∫ωhω1S(ω)dω=A2(D-1)2lnγ· 1(4-2D)[1ω(4-2D)1-1ω(4-2D)h] (14) 而轮廓均方根偏差Rq和E[Z2(x)]的关系为 E[Z2(x)] = R2q(15)
由(13)和(14)式可得到Rq和分形参数之间的关系 Rq=A(D-1)[2lnγ(4-2D)]1/2[1ω(4-2D)1-1ω(4-2D)h]1/2 (16)
考虑到ω1 ωh,式(16)可近似改写为
Rq=∫ωhω1S(ω)dω=A(D-1)ω(2-D)1[2lnγ(4-2D)]1/2 (17)
通过以上分析知:(1)粗糙度指标Rq随着测量 条件,即测量分辨率ωh、取样长度ω1的变化而变 化,所以,它对被测实际要素的描述依赖于分辨率和 取样长度,而未能刻划出被测表面的本质,而分形维 数D和特征长度A却是独立于分辨率和取样长度 的量,是粗糙表面所具有的“内在”的性质;(2)在测 量条件一定时,粗糙度参数Rq随分形参数D的增 加而增加. 4 实 验
GCr15的试件通过改变走刀量、切削量和修整
85第5期 费 斌等:机械加工表面分形特性的研究 度(即分辨率)的
变化而变化,未能反映出其本身“固有”的特性.上述 的研究结果,使得以极不规则、极不光滑的几何结构 作为研究对象的分形几何学应用于机械加工表面微 观形貌的研究成为可能.
首先,在1986年, T. R. Thomas和A. P.
Thomas通过对粗糙表面的研究,指出:工程粗糙表 面具有分形性质.从而,开创了分形理论用于粗糙表 面研究的先河.此后,工程粗糙表面的分形研究取得 了众多显著的成果.但作者认为,目前的研究存在着
如下的一些缺憾:(1)未能明确地提出粗糙表面分形 参数,特别是分形维数的物理意义,而这是粗糙表面 研究,乃至整个分形应用研究普遍存在的问题;(2) 与传统的分析、评判体系无联系,而作为能够完全描 述粗糙表面形貌的参数之一,它应和传统的表面精 度有着某种内在联系,以体现出科学发展的延续性. 1 分形基本理论
1.1 粗糙表面分形维数的物理意义 我们知道,对于任意分形系统,有
Dt≤D≤d
这里:D是系统的分形维数;Dt是系统的拓扑维;d 是嵌入欧氏空间的维数,通常取d=3.差值(D- Dt)是系统无序程度的度量.D=Dt的大多数系统 是有序或弱无序的,若D>Dt,则系统是无序的,差 值(D-Dt)越大(或分形维数D越大),则系统的复 杂程度越强,因而具有更强的填充空间的能力. 一般机械加工表面都有这样的特性:表面上幅
值比较大的峰,其波长一般比幅值小的峰的波长要 长;对于谷也有同样的现象.图1所示为不同加工方 法的表面轮廓曲线.所以说,机械加工表面分形维数 表达了表面所具有的复杂结构的多少以及这些结构 1:铣削表面; 2:车削表面; 3:钻削表面 图1 不同加工方法的表面轮廓曲线
的微细程度,微细结构在整个表面中所占能量的相 对大小.分形维数越大,表面中非规则的结构就越 多,并且结构越精细,而精细结构所具有的能量相对 越大.
1.2 Weierstrass-Mandelbrot函数
Mandelbrot于1982年在Weierstrass函数基础 上提出了一种分形曲线的函数表达形式,称为 Weierstrass-Mandelbrot函数[3].这里,结合工程表面 的特性,往往将W-M函数写成如下形式 Z(x) = A(D-1)∑ ∞ n=n1 cos2πγnx γ(2-D)n(1)
1< D <2, γ>1
这样,就在工程表面的函数描述中引入了分形维数 D这一参数.另外,式中γn是表面上各次谐波的频 率,它的取值范围取决于采样长度L和采样的最高 分辨率,即截止频率.
对W-M函数求功率谱可以得到 S(ω) =A2(D-1)2lnγ·1ω(5-2D)(2)
由(2)式可以看出,轮廓的功率谱服从幂定律.在(2) 式两端取对数,得
lgS(ω) = B+ klgω(3) B =2(D-1)lgA-lg(2lnγ) k =2D-5
在双对数坐标lgS(ω)-lgω中,k是斜率,B是 截距.从上式可看出,分形维数D决定着图线的斜 率,特征长度A和分形维数D决定着图线的位置. 因此对于工程表面,可以通过其功率谱,由(3)式求 得分形维数D和特征长度A.
下面对W-M函数中特征长度A的含义进行分 析.
分形函数Z(x)的增量(或称高度差) Z(z+λ) -Z(x)服从期望为0的独立高斯分布[3],且它的 方差如下
E[Z(x+λ)-Z(x)]2=2C14-2Dsin[π2(2D-
3)]Γ(2D-3) |λ|4-2D(4)
式中 D是函数Z(x)的分形维数; C1是一个常 数,其中函数Γ(x)有如下的解析式
Γ(x) =∫∞0ux-1e-udu
我们发现式(4)有这样的含义,即将点(x+λ,
Z(x+λ))和点(x,Z(x))连接起来的线段有一个
有限的均方差斜率.假设当λ=H时,正好能使这条 线段具有统计为1的斜率,那么就可得以下关系
84西 安 交 通 大 学 学 报 第32卷 西 安 交 通 大 学 学 报
JOURNAL OF XI′AN JIAOTONG UNIVERSITY Vol.32 №5 May 1998 机械加工表面分形特性的研究* 费 斌 王海容 蒋庄德 (西安交通大学,710049,西安)
摘要 随着测量分辨率的提高,工程粗糙表面会有无穷细致的结构产生,所以,任何传统的对粗糙
表面定量的描述,都随测量尺度的改变而变化,未能触及到表面形貌的本质性质.文中将分形几何
学用于表面微观形貌的研究,明确给出了有关分形参数的物理意义,并基于W-M函数建立了分形
参数与传统表面精度指标间的关系,为粗糙表面进一步的分形研究打下了基础. 关键词 分形 表面微观形貌 粗糙度 中国图书资料分类法分类号 TH161.14 Fractal Characterization of Mechanical Surfaces Fei Bin WangHairong Jiang Zhuangde
(Xi′an Jiaotong University, 710049, Xi′an)
Abstract With increase in sensitivity of measurement, infinte texture structure comes into being on
the engineering rough surface. Therefore, any traditional quantitive description of rough surface varies
in accord with the change of measure scale, and never touches the natural properties of surface profile.
This paper applies the fractal geometry to the research on surface microtopography, gives the meaning
of fractal dimension for describing the roughness of the surface, and indicates the relation between the
dimension and the surface roughness. These results lay the foundation for research on the fractal char-
acterization of rough surface in the future.
Keywords fractal surface microtopography roughness 随着工程实际要求以及测量分辨率的不断提 高,目前所采用的建立在传统几何学基础之上的粗 糙表面精度的分析、评判体系已在以下几方面显示 出了不足.(1)由于缺乏分析的理论基础和实验方 法,未能充分考虑被测实际要素的整体形貌信息,除 了表面的极少数局部信息外,大量的有用信息被忽 略掉了.所以,有时存在着这样的情况:用传统评定 方法得到的2个加工精度似乎相当的表面,由于表 面整体形貌存在差异,而使它们在使用质量上有较 大不同.(2)工程粗糙表面,特别是切削表面,是挤压
与撕裂、弹性变形与塑性变形、热与力等因素综合作 用的结果,其微观形貌往往是极不规则和粗糙不平 的.对机械加工表面形貌进一步研究发现,粗糙表面 具有处处不平滑、不可微分的特性,并且随着测量分 辨率的不断提高,会不断出现具有统计自相似的、更
为精细的结构[1,2].所以,目前粗糙表面精度理论中
收到日期:1997-06-18. 费 斌:男,1968年12月生,机械工程学院精密工程研究所,讲师,博士. *国家自然科学基金资助项目(59575079). 砂轮获得不同精度的表面.用Talysurf-6型轮廓仪 进行测量,测头半径为2·5μm,测量长度为4 mm, 每次均匀采集1 150点,然后用功率谱分析,并由公 式(3)求出分形参数D和A,再通过式(16)求出 Rq,将它与轮廓仪直接测得的Rq同列于表1中. 对表1中的数据进行回归处理得出D-Rq的关 系,并作图得图2.图中理论与实验数据的相对误差 小于5%.另外,从图2可以看出,测量条件不变 表1 实验数据 序号分形维数 D
特征长度 A/10-11μm Rq理论值