第十一章 反常积分 §1 反常积分的概念
教学目的与要求：
掌握两类反常积分的概念,根据定义判定反常积分的敛散性。 教学重点，难点：
由定义判定反常积分的敛散性。
教学内容： 一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很
多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题。
例1 （第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭（图11—1），要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？
解: 如图建立坐标轴. 设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.
下面由微元法求火箭从地面上升到距离地心为r（＞R）处需作的功. (1) 积分变量x, 变化区间[R, r];
(2) 任取[x, x+△x]?[R, r], 按万有引力定律, 在距地心x(?R)处火箭所受的引力为
F万=
mgRx22
我们用此力近似表示从x处到x+△x处火箭所受的引力, 从而求得要使火箭从x处到x+△x处需作的功近似为
△W≈dW=F万dx =
mgRx22dx
(3) 火箭从地面上升到距离地心为r（＞R）处需作的功为
W??rRmgRx221?2?1dx?mgR????Rr?
当r→+∞时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功。我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”：
???RmgRx22dx?lim?r???rRmgRx22dx?mgR。
最后，由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应使
12mv20?mgR。
6
用g=9.81(m/s2),R=6.371×10(m)代入，便得 v0?2gR?11.2?km/s?。 □
例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔（图11—2）。试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？
解 如图建立坐标系，从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶 内水位高度为（h－x）时，水从孔中流出的流速（单位时间内流过单位截面积的流量）为 v?2g(h?x), 其中ｇ为重力加速度。
下面用微元法解决这一问题。
（１） 积分变量x, 变化区间[0, h];
（２） 任取[x, x+△x]?[0,h], 我们要求出桶中液面降低微小量△x时, 所需时间的近似值dt. 用v?2g(h?x)表示桶内水位高度从(h-x)到(h-x-△x)时水从孔中流出的流速. 根据水的流量体积
相等得 ?R2dx?v?r2dt
由此则有 dt?rR222g?h?x?dx，x∈[0,h]
(3)流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”： tf??hRr2202g?h?x?dx
但是在这里因为被积函数是[0,h]上的无界函数，所以它的确切含义应该是 tf?lim?u?h?u0Rr222g?h?x?dx
=limu?h?2g?Rr222?h?h?u
? =
2h?R??? g?r?相对于以前所讲的定积分（不妨称之为为正常积分）而言，例1和例2分别提出了两类反常积分。 二 两类反常积分的定义
定义1 设函数f定义在无穷区间[a，+∞]上，且在任何有限区间[a，u]上可积。如果存在极限
lim?u???uaf?x?dx?J （1）
则称此极限J为函数f在[a，+∞]上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作
J=?并称???a??af?x?dx， （1′）
??f?x?dx收敛。如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称?af?x?dx发散。
类似地，可定义f在[－∞，b]上的无穷积分：
?b??f?x?dx?lim?uu???bf?x?dx （2）
??对于f在（－∞，+∞）上的无穷积分，可用前面两种无穷积分来定义：
?????f?x?dx??a??f?x?dx??af?x?dx， （3）
其中a为任一实数，当且仅且当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的。
注1 无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。
注2 由于无穷积分（3）是由（1）、（2）两类无穷积分来定义的，因此，f在任何有限区间[v,u]?（－∞，+∞）上，首先必须是可积的。
注3
???a若f在[a，+∞]上为非负连续函数，则图11—3中介于曲线y=ff?x?dx收敛的几何意义是：
（x），直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J。
例3 讨论无穷积分
???dxxp1 （4）
的收敛性。
u解 由于
?dxxp1?11?p(u?1),p?1?=?1?p?lnu,p?1?
lim?u???u1?1,p?1dx? ??p?1px???,p?1,?1p?1因此无穷积分（4）当p＞1时收敛，其值为；而当p≤1时发散于+∞。
从图11—4看到，例3的结论是很直观的：p的值越大，曲线y=
1xp当x＞1时越靠近x轴，从而曲线下方的阴影区域存在
有限面积的可能性也就越大。
例4 讨论下列无穷积分的收敛性：
1）???dxx?lnx?p2; 2）???dx1?x2。
??分析：由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来。
解 1）???2dxx?lnx?p????2d(lnx)t?lnx?lnx?p????dttp。
ln2从例3知道，该无穷积分当p＞1时收敛，当p≤1时发散。 2）任取实数a，讨论如下两个无穷积分：
?adx1?x2??和???dx1?x2a.
由于
??a??dx1?xdx1?x22?lim?u???adx1?xdx1?x22u?lim?arctana?arctanu??arctana?u????2
??a?lim?v???va?lim?arctanv?arctana??v????2?arctana
因此这两个无穷积分都收敛。由定义1，
???dx1?x2??=?adx1?x2??+???dx1?x2a=?
注 由于上述结果与a无关，因此若取a=0，则可使计算过程更简洁些。 □
定义2 设函数f定义在区间（a，b]上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间[u,b]?（a，b]上有界且可积。如果存在极限
lim?u?a?buf?x?dx?J， （５）
则称此极限为无界函数ｆ在（a, b]上的反常积分，记作 J?b?baf?x?dx。
b 并称反常积分?f?x?dx收敛。如果极限（５）不存在，这时也说反常积分?f?x?dx发散。
aa 注 在定义２中，被积函数ｆ在点ａ的近旁是无界的，这时点ａ称为ｆ的瑕点，而无界函数反常积分
?baf?x?dx又称为瑕积分。
(i)类似地，可定义瑕点为右端点ｂ时的瑕积分
?baf?x?dx?lim?au?b?uf?x?dx, 其中f在[a,b)上
有定义，在点ｂ的任一左邻域内无界，但在任何[a,u] ?[a,b)上可积. (ii)若f的瑕点c∈(a,b), 则定义瑕积分
?baf?x?dx??caf?x?dx??bcf?x?dx?lim?u?c?uaf?x?dx?lim?fv?c?bv?x?dx, (6)
其中f在[a,c)∪(c,b]上有定义, 在点c的任意邻域内无界,但在任一[a,u] ?[a,c)和[v,b]? (c,b]上都可积. 当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时, 左边的瑕积分才是收敛的.
(iii)又若a, b两点都是f的瑕点, 而f在任一[u,v]?(a,b)上都可积, 这时定义瑕积分
?baf?x?dx??acf?x?dx??cbf?x?dx?lim?u?a?cuf?x?dx?lim?cv?b?vf?x?dx, (7)
其中c为(a,b)内任一实数. 同样地, 当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时, 左边的瑕积分才是收敛的.另外, 积分(7)的收敛性与收敛时的值都与实数c的选取无关.
例5 计算瑕积分?10dx1?x2的值。
解 被积函数f（x）=依定义2求得
11?x2在[0,1)上连续，从而在任何[0，u] ?[0,1)上可积，x=1为其瑕点。
?10dx1?x2?lim?u?1?u0dx1?x2?limu?1?arcsinu??2. □
例6 讨论瑕积分
?的收敛性。
10dxxq?q?0? （8）
解 被积函数在(0,1]上连续，x=0为其瑕点。由于?故当0＜q＜1时，瑕积分（8）收敛，且
1udx?11?q1?u?,q?1,????1?q?0?u?1?, qx??lnu,q?1??10dxxq?lim?u?0?1dxxqu?11?q；
而当q≥1时，瑕积分（8）发散于+?。 □
上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映。
如果把例3与例6联系起来，考察反常积分
???我们定义
dxxp0（p＞0）. (9)
???dxxp0=?1dxxp0????dxxp1,
它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛。但由例3与例6的结果可知，这两个反常积分不能同时收敛，故反常积分（9）对任何实数p都是发散的。
课后作业题： 1 (3)、（5）、（7）；2 （2）、（4）、（6）、（8）