尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。
“正弦”的由来
公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。
三角函数
我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。 印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。 三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sinus译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了正弦一词的由来。
“弦表”问世
根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180~前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。 据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为现在角和时间的度 量上”分”和”秒”这两个单位得起源。
建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60o弧(1/6圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60o弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位)；用同样的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用现在所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。
补充：60进制
60进制以度为单位,将圆周分成360等份,每一份所对的圆心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。在时间上,1小时有60分,1分60秒。这种60进制起源于巴比伦是1854年由欣克斯(Edward Hincks,1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所发现的,这些泥板是公元前2300-1600年的遗物。Edward Hincks 是爱尔兰人,以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称于世。 巴比伦人为什么用60作为进位的基数呢？这是很有趣的问题，引起后人的种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。 (1)数学史家M.康托尔(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾认为他们最初以360天为一年。将圆周分为360度,太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连续作6条等于半径长的弦,每一条弦所对的长是60度,基数60或者由此而来。但根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是365日,太阴年(12个月)是354或355日,因此这种假说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。 (2)60这个数字的选择是因为它是许多简单数字2,3,4,5,6,10,12,……的倍数,从而它的1/2,1/3,1/4, 1/5,……都是整数,用起来比较方便。这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出,近年来又有 勒夫勒等人提倡。然而有人认为这是违反历史事实的,因为记数制度不可能由某些学者为了”科学目的”自由创造出来,而是悠久历史发展的结果。
(3)克维奇(G.Kewitsch)在1904年提出,当时两河流域有两个民族,1个用10进制,一个用6进制。两种制度混合调和就形成60进制。10进制是容易理解的,因为人们用10个指头来计算,而6进制是用一只手来计算,5个指头表示1至5,握拳表示6,6以上,就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。像我国也有”掐指一算”的说法。
总之,对于基数60的起源,至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代(公元前16-11世纪),就开始用干支纪日、纪年，从甲子起,60一个循环,周而复始,叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工,不过没有发展为进位值。 ＊希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了“三角学之父”的称谓。
编辑本段基本公式
特殊角的三角函数
在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。 这些函数的值参见右图：
三角函数的特殊值
同角三角函数关系式
平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=1- 2sin^2(α)=2cos^2(α)-1 sin(2α)=2sin(α)cos(α) tan^(α)+1=1/cos^(α) 2sin^(α)=1-cos(2α) cot^(α)+1=1/sin^(α) sinα=tanα×cosα 积的关系 倒数关系 cosαtanαcotαsecαcscα=cotα=sinα=cosα=tanα=secα×sinα×secα×cscα×cscα×cotα tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 商的关系
三角函数
直角三角
三角函数
形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。 -α的终边和α的终边关于x轴对称。 180度+α的终边和α的终边关于原点对称。 90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k是整数 sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα α α sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tan cot（－α）＝－cot sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 公式四： sin（π－α）＝sinα 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角 cos（π－α）＝－c函数值之间的关系 osα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα 公式五： sin（2π－α）＝－si 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三nα 角函数值之间的关系 cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-se公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系