限时规范训练
1.(2016·西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩数为84，则x，y的值分别为( ) A．2,4 C．5,6
B．4,4 D．6,4
考试的众
75＋82＋84＋?80＋x?＋90＋93解析：x甲＝＝85，解得x＝6，由图可知y＝4，故选D.
6答案：D
2．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：
受好 不爱好 总计 附表：
P(K2≥k0) k0 2
男 10 20 30 女 40 30 70 总计 50 50 100 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 n?ad－bc?2随机变量K＝，经计算，K2的观测值k0≈4.762，参考附表，得到的
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：由表可知，有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A. 答案：A
3．(2016·湖南五校调研)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，则函数y＝f(|x－1|)－1的图象可能是( )
解析：设y＝g(x)＝f(|x－1|)－1，
则g(0)＝f(1)－1，g(1)＝f(0)－1，g(2)＝f(1)－1，
∴g(0)＝g(2)，排除A，C，又f(x)是定义在R上的增函数，
∴g(0)>g(1)，排除D，选B. 答案：B
4．据我国西部各省(区，市)2016年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )
A．0.3 C．0.5
B．0.4 D．0.7
解析：依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A. 答案：A
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 C．4.00分钟
B．3.75分钟 D．4.25分钟
解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，0.7＝9a＋3b＋c，a＝－0.2，????
分别代入解析式，得?0.8＝16a＋4b＋c，解得?b＝1.5，
???0.5＝25a＋5b＋c，?c＝－2.
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－
0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B. 答案：B
α·β
6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝，若平面向量a，b满足|a|≥|b|，a与b
β·β
?n??π
??中，则a·0，?，且a·的夹角θ∈?b和b·a都在集合n∈Zb等于( ) ?4??2??
1
A. 23C. 2
B．1 5D. 2
a·b|a|k1|b|k2k1k2解析：设a·b＝＝cos θ＝，b·a＝cos θ＝，两式相乘，得cos2 θ＝.因为a·b和b·a
b·b|b|2|a|24
?n?π1k1k2?中，所以k1，k2都是正整数．因为θ∈?0，?，所以 3 2 2答案：C 7.如图是某路段从晚上8点到第二天6点监控拍到的经过的车辆数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[10,20)内的概率为________． 2 解析：因为共有10个样本数据，数据落在区间[10,20)内的有2个人，所以所求概率为＝0.2. 10答案：0.2 1?x 8．给定方程：??2?＋sin x－1＝0，下列命题： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数根； ④若x0是方程的实数根，则x0>－1. 正确的序号是________． 1?x?1?x与y＝sin x的图象解析：由题意可知求方程?＋sin x－1＝0的解，等价于求函数y＝1－?2??2?交点的横坐标，作出它们的图象，如图所示． 由图象可知：①该方程没有小于0的实数解，错误；②该方程有无数个实数解，正确；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解，正确；④若x0是该方程的实数解，则x0>－1，正确． 答案：②③④ 9．(2016·安徽八校联考)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下 列关于高斯函数的说法正确的有________． ①[－x]＝－[x]； ②x－1<[x]≤x； ③?x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]； ④?x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]； 1－x＋?. ⑤离实数x最近的整数是－?2?? 解析：当x＝1.1时，[－x]≠－[x]，①错；因为[x]表示不超过x的最大整数，所以②恒成立，即②对；因为[x]表示不超过x的最大整数，所以x－[x]为小数部分，记作{x}，设[x]＝a，{x}＝b，[y]＝c，{y}＝d，因为[x＋y]＝[a＋b＋c＋d]＝a＋c＋[b＋d]＝[x]＋[y]＋[b＋d]，所以[x＋y]≥[x]＋[y]，③对；因为[xy]＝[(a＋b)(c＋d)]＝[ac＋ad＋bc＋bd]＝ac＋[ad＋bc＋bd]＝[x][y]＋[ad＋bc＋bd]，所以[xy]≥[x][y]，④错；用特殊值检验可知⑤正确．综上所述，选②③⑤. 答案：②③⑤ 10．(2016·河北三市联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下： 月份 历史(x分) 政治(y分) 9 79 77 10 81 79 11 83 79 12 85 82 1 87 83 (1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； (2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求^^^ 两个变量x、y的线性回归方程y＝bx＋a. n n －－ ∑ ?x－x??yi－y?∑xiyi－nx y i＝1^i＝1i^^ 附：b＝＝n，a＝y－bx. n∑ ?xi－x?2∑xi2－nx2＝＝ i1 i1 1 解析：(1)x＝×(79＋81＋83＋85＋87)＝83， 51 ∵y＝×(77＋79＋79＋82＋83)＝80， 5 1∴s2＝×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8. y 5 2 (2)∵∑ (x－x)(y－y)＝30，∑ (x－x)＝40， iii＝＝ i1 i1 5 5 ^^^ ∴b＝0.75，a＝y－bx＝17.75. ^ 则所求的线性回归方程为y＝0.75x＋17.75. 11．为了解高三学生参加体育活动的情况，对某校高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生在一个月内参加体育活动的次数，根据 此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30] 合计 频数 10 24 m 2 M 频率 0.25 n p 0.05 1 (1)求a的值，并根据此频率分布直方图估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数(精确到个位数)； (2)在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任选2人，求这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的概率． 解析：(1)∵分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 10 ∴＝0.25，∴M＝40，即频数之和为40， M24 ∴n＝＝0.60， 40 又a是分组[15,20)对应的频率与组距的商， 0.60∴a＝＝0.12. 5 0.25 ∴所求中位数为15＋×5≈17， 0.60 即估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数为17. (2)由(1)知m＝4，故样本中参加体育活动的次数不少于20次的学生共有6人，其中参加体育活动的次数在[20,25)的学生共有4人，分别记为a，b，c，d， 参加体育活动的次数在[25,30]的学生共有2人，分别记为e，f. 则从这6人中任选2人的所有基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个， 这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的基本事件为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9个．