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四点共圆
中考要求
内容 基本要求 略高要求 会过不在同一直线上的三点作圆的有关概念 理解圆及其有关概念 圆；能利用圆的有关概念解决简 单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、能用弧、弦、圆心角的关系解决能运用圆的性质解圆心角的关系 简单问题 决有关问题 较高要求 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理能用垂径定理解决有关问题 的条件和结论 重难点
1．理解四点共圆概念；
2．能够利用四点共圆的性质，熟练掌握四点共圆的证明方法；
课前预习
四点共圆与相似
由于新教材舍去了四点共圆的内容，四点共圆不能作为证题的桥梁，但并不是说之前四点共圆能够解决的问题就没有其他办法了，事实上四点共圆得到的结论都可以通过相似得到。
等价于 “? 如图：四点共圆的应用：“对角互补”等价于“四点共圆”。1??2” 等价于 “?3??4”
本质上是借助“四点共圆”得出“对角互补” ， “?，“?3??4”三者等价。 1??2” 此三者等价可以不借助四点共圆，用相似得到： 四点共圆与相似：
四边形对角互补，则△PAD∽△PCB PDPA?则△PBD∽△PCA，则?1??2， PBPC若?1??2，则△OAB∽△ODC得到OA?OC?OB?OD 则△OAD∽△OBC，则?3??4
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由于相似可以代替四点共圆的结论，应用四点共圆可以解决的问题都可以通过相似解决，四点共圆可以用相似来替代这在本质上是一种等价关系，由于数学建立了严密的逻辑体系，定理都是建立公理的基础上，四点共圆是，相似也是，这些定理都是由公理推演而出，只是形式不同，他们共同等价于原始的公理，这也解决问题的思路方法有众多的原因所在，他们在本质上是等价的。
例题精讲
一、四点共圆定义及性质
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
四点共圆有三个性质： （1）同弧所对的圆周角相等 （2）圆内接四边形的对角互补 （3）圆内接四边形的外角等于内对角 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明 证明四点共圆的基本方法
二、证明四点共圆的方法：
1、若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．
2、若一个四边形的一组对角的和等于180?，则这个四边形的四个顶点共圆． 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．
B、C、D四点共圆． 5、若AB、CD两线段和交于P点，且PA?PB?PC?PD，则A、B、C、D四点共圆． 6、若AB、CD两线段延长后相交于P．且PA?PB?PC?PD，则A、 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆． 【例1】 如图?ABC和?DBC中，?A??D，求证点A，B，C，D四点在同一个圆上．
ADBC
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D、E、F四点共【例2】 如图，AB为Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ABE、Rt△ABF的斜边，求证：C、圆．
CDABEF
DF，垂足为E、F，求证：【巩固】从△ABC的顶点A到BC引垂线AD，从D向AB、AC引垂线DE、B、E、F、C四点共圆．
AEFBDC