证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
121212mv0?mv1?mv2 222222即 v0?v1?v2 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2
亦即 v0?v1?v2 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．
2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为
????????????r?x1i?y1j
作用在质点上的力为
??f??fi
所以，质点对原点的角动量为
???L0?r?mv
?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)
??(x1mvy?y1mvx)k
作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速
10
21
率是v1＝5.46×10
4
m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
-12-1
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2
r1v18.75?1010?5.46?10412∴ r2???5.26?10m 2v29.08?10????????12-23 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在
物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
??3???1 解: (1) ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s
0(2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7
115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j
223?????即 r1?4i,r2?7i?25.5j
vx?v0x?1
5vy?v0y?at?6??3?11
3??????即 v1?i1?6j,v2?i?11j
???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k
????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k
????2?1∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m?s
解(二) ∵M?dz dt?∴ ?L??t0??t?M?dt??(r?F)dt
0?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023??
??3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?130 22
题2-24图
2-24 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡．今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少? 解: 在只挂重物时M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
M1g?mr0?0挂上M2后，则有
2
①
(M1?M2)g?mr???2
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 r0mv0?r?mv?
?r02?0?r?2?? ③
联立①、②、③得
?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mr0M12
M1?M2g?m??M1?r0M1?M22-25 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为
-1
900rev·min．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数? =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N?是正压力，Fr、Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．
23
题2-25图（a）
题2-25图(b)
杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
F(l1?l2)?N?l1?0N??l1?l2lF 1对飞轮，按转动定律有???FrR/I，式中负号表示?与角速度?方向相反．∵ Fr??N N?N? ∴ F1?l2r??N???llF 1又∵ I?12mR2, ∴ ???FrRI??2?(l1?l2)mRlF 1以F?100N等代入上式，得
???2?0.40?(0.50?0.75)0.50?100??403rad?s?260?0.25?
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
t???0900???2??360?40?7.06s 这段时间内飞轮的角位移为
???10t?2?t2?900?2?60?94??12?403?(94?)2 ?53.1?2?rad 24
① 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转． (2)?0?900?2?rad?s?1，要求飞轮转速在t?2s内减少一半，可知 60?0??2??0t???02t??15?rad?s?2 2用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为
F???mRl1?2?(l1?l2)60?0.25?0.50?15?
2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO?转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连，
m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设R＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg，m1＝m2＝2 kg，且开始时m1，m2离地均为h＝2m．求： (1)柱体转动时的角加速度；
(2)两侧细绳的张力．
解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．
题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1) m1,m2和柱体的运动方程如下：
T2?m2g?m2a2 ① m1g?T1?m1a1 ②
??T1R?T2r?I? ③
25