北京航空航天大学
研究生应用泛函分析试题（2012年）
一、证明（0,1）为可列集。
二、（1）证明康拓三分集为不可列集。 （2）求康拓三分集的测度。
三、证明lp（1≤p<+∞）空间为距离线性空间。
四、证明任何n维实赋范线性空间X必与Rn现性同胚。
五、设M[a,b]是区间[a,b]上有界函数的全体按逐点定义的加法和数乘形成的现行空间。定义
x?supx(t),?x?x(t)?M[a,b]
a?t?b证明M[a,b]按此范数构成Banach空间
六、设X1，X2均为Banach空间，在积空间X1×X2中定义范数
(x1,x2)?supxi,xi?Xi,i?1,2i?1,2
证明X1×X2是一个Banach空间。
七、（1）Hilbert空间中最佳逼近元的存在性和唯一性如何？ （2）如何求x在M中的最佳逼近元？
八、方程（I-T）x=y有解否？什么时候有唯一解？如何用迭代法求解？迭代法误差如何？
九、M是赋范线性空间X中的一个闭超平面，当且仅当存在0≠f∈X’及r∈R，使得M={x∈M|f(x)=r}。
十、证明如果X’是可分的，则X也可分。
十一、设X是一个Hilbert空间，则对任意y’∈X’,都有唯一y∈X，满足
y?y',y'(x)?(x,y),?x?X
十二、三类谱
十三、设Y是Banach空间，则K(X,Y)是L(X,Y)的闭子空间。 十四、设T∈L(X)是自伴的，则?(T)?R。 十五、证明F可微必G可微。
十六、（1）如何求f(x)=x3-x+1在[-2,-1]上的近似解？ （2）证明你的方法的合理性。