发表在《新高考》与《上海中学数学》 有关抛物线焦点弦的十条性质
—————从一道高考题的八种证法谈起
本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质。
y 一、原题再现 l 过抛物线y2?2px(p?0)对称轴上一点A(a,0)
N1 O N (a?0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N
分别向直线l:x??a作垂线，垂足分别为M1、N1.
M1 M A x p（Ⅰ）当a?时，求证：AM1?AN1.
2二、一题多证
图1 ?????pp证法１：设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则M1(?,y1)、N1(?,y2)，则AM1?(?p,y1)
22?????AN1?(?p,y2)．
显然直线ＭＮ的斜率不为０，故可设直线ＭＮ的方程为：x?ty?p． 2p?x?ty??由?2 得y2?2pty?p2?0, ?y2?2px?因为y1、y2是方程y?2pty?p?0的两根， 由韦达定理得y1y2??p2，
22??????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
y12y22证法２： 设M(,y1)、N(,y2)，
2p2p?????????因为M、A、N三点共线，所以AM//AN，
y12py22p所以(?)y2?(?)y1?0，
2p22p2得y1y2??p2，
??????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
证法3：由抛物线定义可得：MN?MA?AN?MM1?NN1，
ppy12y22设M(,y1)、N(,y2)，则M1(?,y1)、N1(?,y2)，
222p2py22y122y22y122将MN?MA?AN代入坐标可得；(?)?(y2?y1)???p，
2p2p2p2p化简得：(y1y2?p2)2?0， 所以y1y2??p2，
??????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
证法4：设A点内分MN的比为?，
?y12y22?2p??2pp??2?1??2，消去?得：y1y2??p， ?y??y2?1?0?1????????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
PPy12y22证法5：设M(,y1)、N(,y2)，则M1(?,y1)，N1(?,y2)
222p2p??????????Py12?OM?(,y1)，ON1?(?,y2),
22py12yyPP由y2?y1(?)?12y1?y1， 2p22p2y12P由性质1 y1y2??p，可得y2?y1(?)?0，
2p22所以M、O、N1三点共线,
p2可求出，y2??，即可得y1y2??p2，
y1??????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
?x?2pt2证法6：设抛物线的参数方程为?（t为参数），
?y?2pt于是可设M(2pt12,2pt1)，N(2pt22,2pt2)，因为M、N为两个不同点，则t1?t2，
?????????由M、A、N三点共线，所以AM//AN，可得方程(t1?t2)(4p2t1t2?p2)?0，
所以4p2t1t2?p2?0，得t1t2??1， 4所以y1y2?2pt1?2pt2?4p2t1t2??p2，
??????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
即证得AM1?AN1．
证法7:以抛物线焦点为极点则其极坐标方程为??p,则M(?,?)、
1?co?sN(?,???)，
ppsin??(?sin?)??p2，
1?cos?1?cos???????????从而可证得AM1?AN1?(?p,y1)?(?p,y2)??p2?y1y2?0，
所以y1y2?即证得AM1?AN1．
证法8：由抛物线定义得：MM1?MA、NN1?NA， 所以?MM1A??MAM1、?NN1A??NAN1， 因为MM1//NN1，所以?M1MA??N1NA??， 即(??2?MAM1)?(???NAN1)??， 可得?MAM1??NAN1??2，所以?M1AN1??2，即证得AM1?AN1．
四、引出性质
性质1：已知抛物线y2=2px(p＞0)焦点弦AB的坐标分别为(x1,y1)、B(x2,y2),则y1y2=-p2，
p2x1x2?.
4性质2：以抛物线y2=2px(p＞0)焦点弦AB端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FM⊥FN.(其中F为焦点).
性质3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。
性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
性质5：以抛物线y2=2px(p＞0)焦点弦AB端点向准线作垂线，垂足为M、N，则A、O、N三点共线,B、O、M三点共线.
性质1、2、5在上述证明中已证，现证明性质3、4：
证明性质3：如图2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则M(?设线段MN中点为Q,则Q(?当直线AB斜率存在时，
pp,y1),N(?,y2)， 22py1?y2,)， 22yM A KFQy1?y2y?y22， ???1pp2p??22Q ? oF x N 图2 KAB?y1?y2y?y22p， ?21?2x1?x2y1?y2y1y?22p2pB ∴KAB?KFQ??1，即FQ?AB. 由性质2得FM?FN，所以命题成立. 当直线AB斜率存在时，命题显然成立。
证明性质4:如图3,点M、N，分别为点A、B在抛物 线准线上的射影，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则： |AB|=|AF|+|BF|==
p
(x1﹣)2+2px1+
2
p
(x1﹣)2+y2
1+2
p
(x2﹣)2+y2
2 2
N 图3 M O F B y A x ppp
(x2﹣)2+2px2=x1++x2+=x1+x2+p, 222
x1+x2y1+y2x1+x2y1+y2
而线段AB中点坐标为(,),即圆心坐标为(,), 2222x1+x2p1∴圆心到直线MN的距离为+=|AB|
222∴以AB为直径的圆与直线MN相切，命题得证。
抛物线焦点弦还有如下几个性质：
性质6：设抛物线y2=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦AB 的倾斜角为?，则焦点弦长
AB?p?(x1?x2)=
2p
. sin2?
证明：如图4所示，分别做AM、BN垂直于准线l 分别为M、N， 由抛物线定义有：
y A M O N F B ppAB?AF?BF?x1??x2??x1?x2?p.
22且有AF?AM?AF?cos??p,
x BF?BN?p?BF?cos?,
于是可得AF?pp, BF?. 图4 1?cos?1?cos?pp2p2p∴AB?AF?BF?+==. 221?cos?1?cos?1?cos?sin?故命题成立.
由此性质可得当焦点弦AB垂直x轴时直弦AB长取得最小值为2p.
性质7：设抛物线y2=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦AB，则证明：设焦点弦AB 的倾斜角为?,由性质6的证法可得:
112?? (定值). AFBFPAF?则
pp, BF?,
1?cos?1?cos?112??,故命题成立. AFBFP性质8:抛物线y2=2px(p＞0)焦点弦AB两端点A、B处的切线交点轨迹为准线，且有
MF?AB、MA?MB.
性质8证明参见文献1
性质9:M是抛物线y2=2px(p＞0)准线上任意一点，过M作抛物线的两条切线，切点A、B，则A、F、B三点共线，且MF?AB、MA?MB.
证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(?p,y0)， 2因为直线MA、MB与抛物线分别相切于A、B点， 所以直线MA方程为：yy1?2px?x1x?x2，直线MB方程为：yy2?2p ， 22p???x1?y0y1?2p2?p?2因为点M(?,y0)在直线MA、MB上，所以有?，
p2???x2?yy?2p202??2p2所以A(x1,y1)、B(x2,y2)坐标满足方程yy0?px?，
2Pp2故直线AB方程为yy0?px?，显然F(?,0)满足此方程，故A、F、B三点共线.
22由直线MA、MB方程可求得其斜率分别为kMA?2pp、kMB?， y1y2kMAkMBp，由上述性质1可得kMAkMB??1，所以MA?MB. ?y1y2p, y0y0, p由直线AB方程可求得其斜率kAB?由M、F坐标可求得直线MF斜率为kMF??所以kABkMF??1,所以MF?AB.
性质10:设AB、CD是抛物线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC、BD交于点M，则动点M的轨迹是抛物线的准线。
y32y12y22证明：设抛物线方程为：y?2px (p?0)，A(,y1)，B(,y2)，C(,y3)，
2p2p2p2yy2py42x?13， D(,y4)，则直线AC方程为：y?y1?y3y1?y32py222p直线BD方程为：y?y2?(x?)，
y2?y42p由直线AB、CD过焦点F可得：y1y2??p,y3y4??p， 故直线BD方程可化为：y??222y1y3px?,
p(y1?y3)y1?y3p，即M的轨迹是抛物线的准线。 2联立直线AB、CD方程可得：xM??