三角函数
【知识结构】
1.正弦、余弦、正切函数的性质.填表:
解析式 定义域 值 域 零 点 周期性 增区间 T?2? (x?k?,k?Z) ????x?k??,k?Z?2??y?sinx y?cosx y?tanx R R ????k?,k?Z? ?x|x?2??[－1,1] [－1,1] R (x?k?,k?Z) T?2? T?? ?????2k??,2k???22??k?Z [2k?－?,2k?]k?Z ?????k??,k???22??k?Z 减区间
?3???2k??,2k????22??[2k?,(2k?1)?] k?Zk?Z（无） 1
2. 设A?0,??0,则复合函数
y?Asin(?x??),y?Acos(?x??),y?Atan(?x??)2?|?|的最小正周期分别是
T?,T?2?|?|,T??|?|.
使函数值为0的x取值集合分别是
?1???k??????2?k???????,k?Z,k?Z?,?x|x??x|x??????????k??????,k?Z?. ?,?x|x???????
它们的单调增区间当ω>0时分别为：??(2k?????1?1?)?,(2k?)??,k?Z2??2???
?2k????(2k?1)?,?????????,k?Z?.
??1?1??(k?)?,(k?)??2??2?????,k?Z?.
3.函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的关系：
①函数y?sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（??0）或向右（??0）平移|?|个单位得y?sin?x???的图象；
②函数y?sin?x???图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
y?sin??x???的图象；
1?，得到函数
③函数y?sin??x???图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y?Asin(?x??)的图象；
④函数y?Asin(?x??)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k?0）或向下（k?0），得到y?Asin??x????k的图象。
要特别注意，若由y?sin??x?得到y?sin??x???的图象，则向左或向右平移应平移|
??|个单位
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【例题精讲】
例1.求下列函数的定义域 (1)y?sinx?1tanx
(2)y?cosx?25?x2 (3)y?tan(x??4)?logsinx(2cosx?1)
解：等价转化为求一个方程组的解
sinx?0(1)tanx?0x?k???x?(2k?,2k???),x?k???2,(k?Z)
?2,(k?Z)(2)
cosx?025?x?03?2]?[?2?x?[2k??x?[?5,5]?2,2k???2],(k?Z)?x?[?5,???22.]?[3?2,5]
x?(2k???3,2k???3)2cosx?1?0(3)sinx?0x??x?(2k?,2k???2)?(2k???2,2k???)
?4?k???2,(k?Z)x?k???4?x?(2k?,2k???4)?(2k???4,2k???3),(k?Z)
注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小。在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能。
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例2.求下列函数的值域
(1)y?cos2x?cosxsinx (2)y?1?2sinx?cos2x (3)y?解：(1)y?12121222sinxcosx1?sinx?cosx1?221?,
22]
sin2x?cos2x??sin(2x??4)?12?值域是[(2)y??sin2x?2sinx?2??(sinx?1)2?3?值域是[?1,3] (3)令t?sinx?cosx?2sin(x?t?1y?2?t?1?值域是[?t?122?12,?1)?(?1,2?12]
2?4)?[?2,?1]?[?1,2]?sinxcosx?t?122
注：注意函数的定义域，注意sinx,cosx?1
例3.利用“五点法”作函数y?2sin(2x?解：列表，描点，连线即可
x ?3)的图像
?6 5?12 2?3 11?123?2 7?6 2x?y?3 0 0 ?22? 0 2? 0 ?2
4
例4. (1)函数f(x)?tanx1?tanx2的最小正周期为__________
(2)函数f(x)?sinx?xtanx的奇偶性为___________ g(x)?1?sinx?cosx1?sinx?cosx的奇偶性为____________
?6),x?[??,0]的单调递减区间为_____________
(3)函数f(x)?2sin(2x?g(x)?2sin(?2x??6)的单调递增区间为____________
解：等价变形为基本三角函数，再利用定义求解 (1)f(x)?12tan2x,(x?k???4,x?k???2,k?Z)
又tan2x周期为T??2,?,3?2,…但f(0)有意义而f(?2)没有意义?T??
(2)函数定义域为(k??函数
?2,k???2),k?Z关于原点对称，又f(?x)?f(x)，故为偶
1?sinx?cosx?0?x?2k???2,x?2k???,k?Z，函数定义域关于原点不对
称，故为非奇非偶函数 (3)2x??6?[2k???2,2k??3?25?6]?x?[k??,??6,k??2?3],k?Z
又x?[??,0]?k??1?[?g(x)??2sin(x??3]
?6),2x??6?[2k???2,2k??3?2]?x?[k???3,k??5?6],k?Z
注1.周期函数的周期不是唯一的，周期函数的定义域一定是无限集，且无上界和下界
2.确定函数奇偶性时，首先要判断其定义域是否关于原点对称，在三角函数中尤其重要
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