实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.设A,B为两个集合,则A?B__A?Bc.
n2.设E?R,如果E满足E??E(其中E?表示E的导集),则E是
G （a,b）3.若开区间(?,?)为直线上开集G的一个构成区间,则(?,?)满(i)
(ii)a?G,b?G
4.设A为无限集.则A的基数A__a(其中a表示自然数集N的基数) 5.设E1,E2为可测集,mE2???,则m(E1\\E2)__mE1?mE2.
6.设?fn(x)?为可测集E上的可测函数列,且fn(x)?f(x),x?E,则由______定理可知得,存在?fn(x)?的子列fnk(x),使得fnk(x)?f(x)n??a.e(x?E).
7.设f(x)为可测集E(?R)上的可测函数,则f(x)在E上的L积分值存在且|f(x)|在E上L可积.（填“一定”“不一定”）
8.若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数,则f(x)是[a,b]上的有 二、选择题 1．设E???x,0?0?x?1?，则（ ）
AmE?1BmE?0CE是R2中闭集 DE是R2中完备集
2．设f?x?，g?x?是E上的可测函数，则（ ）
A、E??xf?x??g?x???不一定是可测集B、E??xf?x??g?x???是可测集
C、E??xf?x??g?x???是不可测集D、E??xf?x??g?x???不一定是可测集
3．下列集合关系成立的是（）
A、(A\\B)?B?A?B B、(A\\B)?B?A C、(B\\A)?A?A D、B\\A?A
n4. 若E?R是开集，则 （ ）
??A、E的导集?E B、E的开核?EC、E?ED、E的导集?E
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设f?x?是?a,b?上有界函数，且L可积，则（ ）
Af?x?在?a,b?上黎曼可积Bf?x?在?a,b?上可测
Cf?x?在?a,b?上几乎处处连续Df?x?在?a,b?上不一定连续
2. 设E?{[0,1]中的无理点},则()
A、E是可数集 B、E是闭集 C、E中的每个点均是聚点 D、mE?0 3. 若E(?R)至少有一个内点，则（）
A、mE可以等于０B、mE?0 C、E可能是可数集 D、E不可能是可数集 4．设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数?E(x)是（） A、[a,b]上的符号函数 C、E上的连续函数 B、[a,b]上的可测函数 D、[a,b]上的连续函数
四、判断题
1. 零测集上的函数是可测函数. （ ） 2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ） 3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ） 4. 设E为可测集，则一定存在G?集G，使E?G，且m?G\\E??0. （ ） 五、定义题
1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
3. 可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？
4. ?a,b?上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
**六、计算题
?sinx3?7. 设f?x?????x
8. 求limx?Px??0,1?\\P，P为康托集，求
?0,1??f?x?dx.
ln?x?n??xecosxdx.
n???n?0,n?
七、证明题
1．设fn(x),gn(x),fx(),gx(是)E上几乎处处有限的可测函数，且fn(x)?f(x)，
gn(x)?g(x)，则fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x)
2．设f(x),g(x)是E上L?可积函数，则f2(x)?g2(x)在E上也是L?可积的
3．设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果?Ef(x)dx?0，则f(x)?0
4．证明等式：A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C)
a.e于E
实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于 2.闭集. 3.(a,b)?G 4.? 5.? 6.黎斯 7.不一定不一定 8.界变差函数. 二、单选题
1.B 2.B3.A 4.B 三、多选题
1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC
四、判断题 √×√√ 五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微. 2.答：不一定，如???1??n?1???11?,?1?????1,1? nn?3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函
数列的极限形式. 4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为mP?0，所以f?x??x,a.e于?0,1? 于是
?0,1??f?x?dx??12xdx而x在?0,1?上连续，所以
?0,1?x2111xdx?Rxdx?|?因此. fxdx?????0???0222?0,1??0,1?2.解：令fn?x????0,n??x?ln?x?n??xecosx nln?x?n??xecosxdx??fn?x?dx 显然fn?x?在?0,???上可测，且?n?0,n??0,???因为fn?x??ln?x?n??xln?x?n?ecosx?,?x??0,???,n?1,2,? nn不难验证gn?x??ln?x?n?，当n足够大时，是单调递减非负函数，且 nlimgn?x??0，所以
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