1.：对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
115
=（）（亦可用独立性求解，下同）
775（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
)72.：50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？
【解】设A={发生一个部件强度太弱}
33P(A)?C110C3/C50?1 1960
3：.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94
(3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38
4.：已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是
男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?
0.5?0.0520?
0.5?0.05?0.5?0.002521
5.：某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998
0.96?0.98?0.04?0.05
6：将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
C33!3P(A1)?43?
48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
C114P(A3)?3?
416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?21C194C3C3?或 P(A2)? 4316319?? 81616
7：设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图； (3)
133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.
222【解】
X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数
x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??
34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)
1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535
3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.3535
8：设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，
则有
P(X?N)?0.01
即 利用泊松近似
k?N?1?C200k200(0.02)k(0.98)200?k?0.01
??np?200?0.02?4. e?44kP(X?N)???0.01
k?N?1k!?查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
9：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗
口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为
x?1?5?e,x?0 f(x)??5?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为
x1?5P(X?10)??edx?e?2
105?Y~b(5,e?2),即其分布律为
kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25
10：将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次
数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1???? 322280 1 8110 21C3????3/8 22211110 ??? 222811：设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,
其他.?0,??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?
1
? 8
（2） P{X?1,Y?3}? ??(3) P{X?1.5}?x?1.5??1313????f(x,y)dydx
???13k(6?x?y)dydx? 0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D24?x2?0dx?12(6?x?y)dy?. 83
12：袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最
大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 6 101 11 ?3C51022 ?3C51033 ?3C510