( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
2、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？（5分）
答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。
2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀
总分 性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为
三 华南理工大学2011年期末考试试卷（B）卷
《弹性力学》
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在答题纸上； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共三大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 得 分 评卷人 一 二 一、简答题（共20分）
1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？（10分）
答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 (2分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 （6分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （8分）
5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。
在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10分）
?E?,换为，就得到平面应变问题的物理方程。
1??1??2
3、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分）
解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解
法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。
二、计算题（80分）
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_____________ ________ 姓名 学号
2.1 如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力，顶部受集中力P作用。试写出水坝的
对O点的力矩等效： 应力边界条件。(10分)
左侧面： l?1,m?0X?Y?0
代入应力边界条件公式：
l(?x)s?m(?xy)s?X m(?????x??x?h?0y)s?l(?xy)s?Y ??0
??xyx?h右侧面：
l??1,m?0X??y,Y?0代入应力边界条件公式：
????x?x??h???y
???
xy?x??h?0
上端面为次要边界可由圣维南原理求解。
Y方向力等效： ?h
?Psin??h(?y)y?0dx?
?h ?h(?y)y?0xdx??Ph2sin?
X方向力等效： ?h?h(?yx)?Pcos?
y?0dx2.2图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根
据材料力学公式，写出弯曲应力?x 和剪应力?xy的表达式，并取挤
压应力?y?0，然后说明这些表达式是否代表正确解。（10分）
解：
1、 矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为
，横截面对z轴(中性
轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截
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《弹性力学》试卷第面上的剪力为,剪应力挤压应力。
2、 经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡
也能满足相容方程
再考察边界条件：在
的主要边界上，应精确满足应力边界条件：能满足。
在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：
；并取
满足应力边界条件。
在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：
满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答。
2.3 图示矩形板，长为l ，高为h，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。(10分)
3 ??2kxy3kxyO
h
h3?2hl x y
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解：1、应力分量： ??2?12kxx??y2?h3??2? ?2?6ky23ky??x2?0 ?xy???x?y??h3?2h 2、边界条件：上下边界
?2?y?
y??h?02?
6k??h??xy? y??h???2??3k
2h3?2h?0显然上下边界无面力作用。
左边界x=0:
hh?212kxy ?h?xdy?2?2?hh3dy?02 hh?2212kxy2 ?h?xydy?2??h2h3dy?0
hhh23???2 ?22?h?xydy?2?h2?6ky3k????h3?2h????2ky3ky??
?dy???h3?2h???k?h2右边界x=l: hh
?2?xdy??212kly?h2?h2h3dy?0h
hh12kly2?212kly32?h?xydy?2?2?h2h3dy?3h3?kl
?h2
hh3
h?222?h????6ky3ky?xydy?2?2?h2??ky2h3?3k?2h???dy??????h3?2h ????k?h
2结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
2.4图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其长度为L,宽度取为1，高度为2h,右端固定、左端自由，荷载分布在其右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。（20分）
解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。
（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设
(a) (3分)
式中
的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得
(b)
式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程
，
得
（5分）
上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，
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《弹性力学》试卷第即
，得
，
积分上二式，得
X取任何值均应满足，因此得
. （16分）
式中
为待定的积分常数。将
将式（e）代入上式积分，得
，
代入式（b），得应力函数为
计算得
,
,横截面对Z轴的惯性矩。
（18分）
.(c) （8分）
(2)应力分量的表达式
其中
最后得应力分量为
（10分）
（20分）
(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件
,自然满足；
2.5如图所示楔形体右侧面受均布荷载q作用，试求应力分量。（20分）
,得
; （12分）
上式对x的任何值均应满足，因此得
，
，即
（14分）
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