习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?? 解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
1q212cos30??4π?0a24π?0q???3q3
qq?(32a)3
解得
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．?
解: 如题8-2图示
解得
Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e2?4π?(2lsin?)0?
q?2lsin?4??0mgtan?
E?8-3 根据点电荷场强公式
q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强
→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解??
仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求
场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
解:
?E?q4π?0r2?r08-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则
q224??dff0这两板之间有相互作用力，有人说=,又有人说，因为f=qE,
q2?S以f=0．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少??
E?q?0S，所
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把
q?0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个合场强
qq2qf?q?E?2?0S2?0S，这是两板间相互作用2?0S，另一板受它的作用力板的电场为
E?的电场力．
????p?ql8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为
E?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量?分别为
pcos?psin?Er=2??0r3, E?=4??0r3
???ppsin?rr证: 如题8-5所示，将分解为与平行的分量和垂直于的分量psin?．
∵ r??l
∴ 场点P在r方向场强分量
pcos?Er?2π?0r3
垂直于r方向，即?方向场强分量
E0?psin?4π?0r3
题8-5图 题8-6图
8-6 长l=15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m?的正电荷．试求：
-1
(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强．? 解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
1?dx4π?0(a?x)2
l?2dxEP??dEP?l4π?0??2(a?x)2dEP???11[?]ll4π?0a?a??l2
2
?π?0(4a2?l2)
?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得
EP?6.74?102N?C?1方向水平向右
1?dxdEQ?224π?x?d02方向如题8-6图所示 (2)同理?
?dE?0EQx由于对称性?l，即Q只有y分量，
dEQy∵
1?dx?4π?0x2?d22d2x2?d22
l2l?2EQy??dEQyld??24π?2
?dx(x?d)
22232?以??5.0?10?9?l2π?0l2?4d22C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?
题8-7图
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为
?Rd?4π?0R2方向沿半径向外
?dEx?dEsin??sin?d?4π?R0则
dE?dEy?dEcos(???)?Ex???积分
0??sin?d??4π?0R2π?0R
Ey???0??cos?d?4π?0R
E?Ex?∴
?2π?0R，方向沿x轴正向．
??cos?d??04π?0R
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E．?
q?解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4在P点产生物强dEP方向如图，大小为
??cos?1?cos?2?dEP?l224π?0r?4
l2cos?1?l22r?2 ∵
dEP??2cos?2??cos?1
l2l24π?0r?2 ∴
?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?
dE??∴
l2r?4?l4π?0l2r?42rl2r?22l2r?4
2题8-8图
由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为
EP?4?dE??q4l
qr24?lrl2l224π?0(r?)r?42
2∵
??2l22l4π?0(r?)r?42方向沿OP ∴
8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面
EP?的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．(
??arctanRx)?
解: (1)由高斯定理
??q?E?dS?s立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等
?0
?e?∴ 各面电通量
q6?0．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量
?e?q6?0
对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则如果它包含q所在顶点则
?e?q24?0，
?e?0．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为R?x的球冠面的电通量，球冠面积*
22S?2π(R2?x2)[1?q1????22?04π(R?x)2?0[∴
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
?xR?x22]
q0SxR2?x2]
S??2πrsin??rd?0
?5?2πr2?sin??d?0??2πr(1?cos?)
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×108cm ,12cm 各点的场强．
C·m求距球心5cm，
-3
2解: 高斯定理
???q2E?dS?E4πr??s?q?0
当r?5cm时，
?0,
??q?0E?0,
4π3?p3r?8cm时，?q3(r?r内)