…
……高二下学期期末考试
…○数学试题（理科）
… …一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）
… …1．设z?1?i(i为虚数单位),则z2?2（ ）
z=
题 … （A）?1?i （B）?1?i
（C）1?i
（D）1?i
…2．下列等于1的积分是（ ）
…1111 ：… A．?0xdx B．?0(x?1)dx C．?101dx D．?02dx
级答班…3.用数学归纳法证明：1+111 2+3+??2n?1?n,(n?N?,n?1)时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边 … 增加的项数是（ ）
… … 要A.2k B.2k?1 C.2k?1 D.2k?1
… 4. 若 …f(x)?sin??cosx，则f'(?)等于（ ）
… （A）sin …? （B）cos? （C） sin??cos? （D）2sin? ：不名…姓…5. 函数y?1 x在点x?4处的导数是 （ ）
… … (A) 18 (B) ?111 内 8 (C) 16 ( D) ?16
… …6. 已知随机变量?服从正态分布N(2,?2),P(??4)?0.84,则P(??0)?( ) … (A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.84
… ：线7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）
号…的停放方法共有
证（A） 16种 （B）18种 （C）24种
（D）32种
考…准……8. 若幂函数f(x)的图象经过点A(14,12)，则它在A点处的切线方程为（ ）
封（A） 4x?4y?1?0 （B）4x?4y?1?0 （C）2x?y?0 （ D）2x?y?0
……9. 若函数f(x)?x2?bx?c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象可能是（ ）
… …密 … … …
…10. 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)?2,当x?0时，有f(x)?xf?(x)恒成立，则不等式f(x)?x
○的解集是（ ）
…（A）（?2，0）∪（2，??） （B） （?2，0）∪（0，2） …（C）（??，?2）∪（2，??）
（D） （??，?2）∪（0，2）
……
高二数学试题（理） 第1页，共8页
11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么
不同的停放方法的种数为（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．32种
12. 设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y?f(x)在x?5处的切线的斜率为（ ） Ａ．?15
Ｂ．0
Ｃ．
15
Ｄ．5
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 若(a?2i)i?b?i，其中a、b?R，i是虚数单位，则a2?b2?_________。
14. 函数y?x2?x3的单调增区间为_________________。
15. 定积分
?2?1??x?1?x??dx的值等于_________________。 16. 若?ABC内一点O满足OA?OB?OC?0，则AO?13(AB?AC)。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体ABCD内一点O满足OA?OB?OC?OD?0， 则AO? . 三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17. （本题共12分）
一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
18．（本题共12分）
已知f(x)?(1?x)m?(1?2x)n,(m,n?Z)展开式中x的系数为11，求：（1）x2的系数的最小值；（2）当x2系数取最小值时，求f(x)展开式中x的奇数次幂项的系数之和。
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19．（本题共12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是
…………○…1；②输入整数421.（本题共12分）
据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系：y?n(n?2)时，输出结果f(n)是将前一结果f(n?1)先乘以3n-5，再除以3n+1.
13x3?x?8。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米∕时的速
12800080度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？（1） 求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中n?N*）的表达式，并给出证明.
20. （本题共12分）
已知函数f(x)?x3?x。（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；
（Ⅱ）设a?0，如果过点(a,b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)。
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最少为多少升？
22. （本题共14分）
已知函数f?x??ax?xlnx的图象在点x?e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；（2）若k?Z，且k?f?x?x?1对任意x?1恒成立，求k的最大值；
（3）当n?m?4时，证明?mnn?m??nmm?n．
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………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○………… … ……参考答案(理) …○一、选择题：CCAAD ACBAD CB …二、填空题： …23…13. 5 14. (0,) 15．ln2?2 (99.5% ) 16. 1 4?AC?AD? 3AB? …三解答题 题 …17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中 … P(X?1)?7 …10， ：…级答P(X?2)?3?710?9?730， 班… …P(X?3)?3?2?77 …10?9?8?120, …P(X?4)?3?2?1?71 要10?9?8?7?120 … …所以X的概率分布为 …X 1 2 3 4 … P 7 771：不1030 120 120 名…………………6分 姓… (2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中 … P(X?1)?7 …10， 内 …P(X?2)?3?86 10?10?25， … … P(X?3)?3?2?9 10?10?10?27500, … ：线号…P(X?4)?3?2?1?10310?10?10?10?500. 证考…所以X的概率分布为 准…X 1 2 3 4 …P 76273封10 25 500 500 …………………12分 ……18．解：（1）?C11m?2Cn?11，所以m?2n?11………………2分 …密?C221(n?1)?(m?21)2351m?4Cn?…2m(m?1)?2n4?16………………4分 …当m?5,n?3时有最小值22；………………5分 ……（2）由（1）m?5,n?3，所以f(x)?(1?x)5?(1?2x)3?a0?a1x?a2x2???a5x5 ○…从而f(1)?25?33?a0?a1???a5，………………8分 ……… 高二数学试题（理） 第5页，共8页
f(?1)?0?1?a0?a1?a2?a3?a4?a5，………………10分
所以a11?a3?a5?2[f(1)?f(?1)]?30，即奇数次幂项的系数之和为30………………12分 19.解：由题设条件知f(1)= 14,f(n)=3n?53n?1f(n?1),
?f(2)?1117?4?28;
f(3)?128?410?170;
f(4)?170?713?1130. ………………………………3分
(2)猜想：f(n)?1(3n?2)(3n?1)（其中n?N*）……………………5分
以下用数学归纳法证明： （1） 当n?1时，f(1)?1114,(3?1?2)(3?1?1)?4， 所以此时猜想成立。 ………………………………6分 （2） 假设n?k(k?N*)时，f(k)?1(3k?2)(3k?1)成立
那么n?k?1时，
f(k?1)?3(k?1)?53(k?1)?1f(k)?3(k?1)?513(k?1)?1?(3k?2)(3k?1)……………9分?111
3(k?1)?1?(3k?1)?[3(k?1)?2][3(k?1)?1]所以n?k?1时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：f(n)?1(3n?2)(3n?1)（其中n?N*）成立。
…………………………12分
20解：（1）求函数f(x)的导数：f'(x)?3x2?1。曲线y?f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为：
y?f(t)?f'(t)(x?t)，即y?(3t2?1)x?2t3。……………4分
（2）如果有一条切线过点(a,b)，则存在t，使b?(3t2?1)a?2t3。
于是，若过点(a,b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程2t3?3at2?a?b?0有三个相异的实数根。记
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g(t)?2t3?3at2?a?b，则g'(t)?6t2?6at?6t(t?a)。当t变化时，g(t),g'(t)的变化情况如下表：
t
(??,0)
0 (0,a)
a
(a,??)
g'(t)
＋ 0 － 0 ＋ g(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
a?b b?f(a)
由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根； 当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?3a2，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根； 当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??a2,t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根。
综上，如果过(a,b)可作曲线y?f(x)的三条切线，即
g(t)?0有三个相异的实数根，则??a?b?0,b?f(a)?0.即?a?b?f(a)。
?…………………………12分
21.（I） 所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升。
（II）所以当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
22.解：（1）所以a?1．…………………2分
（2）解：由（1）知，f?x??x?xlnx，
所以k?f?x?x?1对任意x?1恒成立，即k?x?xlnxx?1对任意x?1恒成立．………………………3分
令g?x??x?xlnxx?1，
则g??x??x?lnx?2?
x?1?2，……………………………………………………………………4分令h?x??x?lnx?2?x?1?，
则h??x??1?1x?x?1x?0， 所以函数h?x?在?1,???上单调递增．……………………………………………5分 因为h?3??1?ln3?0,h?4??2?2ln2?0，
所以方程h?x??0在?1,???上存在唯一实根x0，且满足x0??3,4?．
当1?x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0，当x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0，………………6分 所以函数g?x??x?xlnxx?1在?1,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增．
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所以
??g?x???min?g?x0??x0?1?lnx0?x0?1?xx?0?2??x0??3,4?．…………………7分
0?1x0?1所以k???g?x???min?x0??3,4?．
故整数k的最大值是3．…………………………………………………………………8分 （3）证明1：由（2）知，g?x??x?xlnxx?1是?4,???上的增函数，……………………9分
所以当n?m?4时，n?nlnnn?1?m?mlnmm?1．……………………………………………………10分即n?m?1??1?lnn??m?n?1??1?lnm?． 整理，得
mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn??n?m?．………………………………………11分
因为n?m， 所以mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn．……………………………12分 即lnnmn?lnmm?lnmmn?lnnn．
即ln?nmnmm??ln?mmnnn?．…………………………………………………………13分
所以
?mnn?m??nmm?n．………………………………………………………………………14分
证明2：构造函数
f?x??mxlnx?mlnm?mxlnm?xlnx，………………………………………9分
则f??x???m?1?lnx?m?1?mlnm．………………………………………………10分 因为x?m?4，所以f??x???m?1?lnm?m?1?mlnm?m?1?lnm?0． 所以函数f?x?在?m,???上单调递增．………………………………11分
因为n?m， 所以f?n??f?m?． 所以
mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn?m2lnm?mlnm?m2lnm?mlnm?0．…12分
即mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn．
即lnnmn?lnmm?lnmmn?lnnn．
即ln?nmnmm??ln?mmnnn?．……………………………………………………………13分
所以?mnn?m??nmm?n．………………………………………………………………14分
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…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………