二、极限
（一）数列的极限
1．数列极限的定义：设{xn}为一数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n?N时，不等式称常数
xn?A??都成立，那么就
n??A是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于A，记为limxn?A或
．如果不存在这样的常数A，就说数列{xn}没有极限，或者说数xn?A（n??）
列{xn}是发散的，习惯上也说limxn不存在．
n??说明：数列极限中自变量n的趋向只有一种，即n??，虽然含义表示正无穷，但不要写做n???，注意与函数极限的区别． 2．收敛数列的性质
性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一．
性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界． 说明：对于数列{xn}，如果存在正数M，使得对一切n，都有是有界的，否则称数列{xn}是无界的．
性质（3）：（收敛数列的保号性）如果limxn?A，且A?0（或者A?0），那么存在
n??则称数列{xn}xn?M，
正整数N，当n?N时，都有xn． ?0（或xn?0）
（二）函数的极限
1．函数极限的定义 （1）常数
x?x0时函数的极限：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义．如果存在
，总存在正数?，使得当x满足不等式A，对于任意给定的正数?（不论它多么小）
0?x?x0??时，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)?A??，那么常数A就叫做函数f(x)当
x)?A或f(x)?A（当x?x0时的极限，记作limf(x?x0x?x0）．
说明：函数的左极限limf(x)?A或f(x0)?A；右极限limf(x)?A或
x?x0??x?x0?f(x0)?A；左极限与右极限统称单侧极限．函数f(x)当x?x0时极限存在的充要
条件是左右极限都存在并且相等，即f(x0)?f(x0)． （2）设函数f(x)当x??时函数的极限：
如果存在常数A，x大于某一正数时有定义．
???对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式对应的函数值f(x)都满足不等式
x?X时，
f(x)?A??，那么常数A就叫做函数f(x)当
． x??时的极限，记作limf(x)?A或f(x)?A（当x??）
x??说明：此定义包含limf(x)?A和limf(x)?A两种情况．
x???x???2．函数极限的性质（以x?x0为例）
x?x0性质（1）：（函数极限的唯一性）如果limf(x)存在，那么这极限唯一．
x?x0性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果limf(x)?A，那么存在常数M?0和
??0，使得当0?x?x0??时，有
f(x)?M．
x?x0性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果lim么存在常数??0，使得当0f(x)?A，且A?0（或A?0），那
． ?x?x0??时，有f(x)?0（或f(x)?0）
（三）极限运算法则
1．如果lim（1）lim[x?x0x?x0f(x)?A，limg(x)?B，则有
x?x0x?x0x?x0f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B； f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B；
x?x0x?x0（2）lim[x?x0（3）limf(x)g(x)limf(x)?x?x0x?x0limg(x)x?x0?AB，其中B?0；
（4）lim[cfx?x0(x)]?climf(x)，其中c为常数；
x?x0nn（5）lim[f(x)]?[limf(x)]，其中n为正整数．
x?x0x?x02．设有数列{xn}和{yn}，如果limxn?A，limyn?B，则有
n??n??（1）lim(xn?yn)?A?B；
n??（2）lim(xn?yn)?A?B；
n??（3）limn??xnyn?AB，其中
yn?0（n?1,2,?）且B?0．
?A，lim?(x)?B，则A?B．
x?x03．如果?(x)??(x)，而lim?(x)x?x04．复合函数的极限运算法则：设函数y?f[g(x)]是由函数u?g(x)与函数
y?f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若limg(x)?u0，
x?x0?u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，当x?U(x0,?0)时，有g(x)?u0，则
limf[g(x)]?limf(u)?A．
x?x0u?u0说明：本法则以x?x0为例，其他趋向下亦成立．
（四）极限存在准则
1．准则I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： （1）从某项起，即?n0n???N，当n?n0时，有yn?xn?zn，
（2）limyn?A，limzn?A，
n??那么数列{xn}的极限存在，且limxn?A．
n??准则I? 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件：
?（1）当x?U(x0,r)（或
x?x0(x??)x?M）时，g(x)?f(x)?h(x)，
（2）limg(x)?A，limh(x)?A，
x?x0(x??)那么limf(x)存在，且等于A．
x?x0(x??)说明：准则I及准则I?称为夹逼准则．
2．准则II 单调有界数列必有极限．
准则II? 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）
（五）两个重要极限
1．limx?0sinxx?1，可引申为limsin?(x)?(x)?0?(x)??1，式中不管自变量x是哪种趋向，只
?要在此趋向下?(x)?0即可（?(x)?0或?(x)?0时亦成立）．
12．lim(1?x)x?e 或 lim(1?x?01x1x??x)?e，可引申为lim(1??(x))?(x)?(x)?0?e?e（
?(x)?0?或
?(x)?0?时亦成立）或
?(x)??lim(1?1?(x))?(x)（?(x)???或?(x)???时亦成立）．
说明：数列亦有第二种极限形式，即lim(1?n??1n)?e．两个重要极限是考试的必考内容，
n请大家务必好好掌握．
（六）无穷小和无穷大
1．定义
（1）无穷小的定义：如果函数f(x)当x数f(x)为当x?x0（或x??）时的极限为零，那么称函
．特别地，以零为极限?x0（或x??）时的无穷小量（简称无穷小）
的数列{xn}称为n??时的无穷小．
说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{xn}当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x的某一趋向下才有意义．
（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．
说明：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1f(x)为无穷小；反之，如
果f(x)为无穷小且f(x)?0，则2．无穷小的比较
1f(x)为无穷大．
设?，?均为自变量同一趋向下的无穷小，且??0，
（1）如果lim???0，则称?是比?高阶的无穷小，记作??o(?)；
（2）如果lim????????，则称?是比?低阶的无穷小；
（3）如果lim?c?0，则称?与?是同阶无穷小；
（4）如果lim?1，则称?与?是等价无穷小，记作?~?；
（5）如果lim??k?c?0，k?0，则称?是关于?的k阶无穷小．
3．无穷小的性质
（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设?，?，??，
??均为自变量同一趋向下的无穷小，且?~??，?~??，lim????存在，则
lim???lim????（lim表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此
意，不再解释）．
说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．
x?0时sinx~x，可引申为?(x)?0时，sin?(x)~?(x)； x?0时tanx~x，可引申为?(x)?0时，tan?(x)~?(x)；