4. 利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即
在本题中，?(?)?0，因此由上式可以求出信号f(t)作用在系统上的稳态响应为
T{cos(?0t??)}?H(j?0)cos(?0t??(?0)??)
T{f(t)}?5H(j0)?3H(j2)cos2t?H(j4)cos4t?5?2cos2t，???t??
5. 因为
g(t)??f(?)d???t??t，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得
t??yg(t)??y(?)d???[?(??1)??(??1)d?]??(t?1)??(t?1)其波形如图A-9所示。
yg(t)
21t?101图A-9
6. 对微分方程取拉斯变换得 整理得
sY(s)?y(0?)?2Y(s)?F(s)
y(0?)1Y(s)??F(s)s?2s?2 y(0?)1Yf(s)?F(s)Yx(s)?s?2s?2，
因此有
取拉斯反变换，得零输入响应为
yx(t)?y(0?)e?2t?(t)
由给定的系统全响应可知，激励信号应为：f(t)?ke?t?(t)，因此，其拉斯变换为
F(s)?ks?1，因而有
Yf(s)?取拉斯反变换，得零状态响应为 因此。系统的全响应为
1kkkF(s)???s?2(s?1)(s?2)s?1s?2
yf(t)?(ke?t?ke?2t)?(t)
y(t)?[ke?t?y(0?)e?2t?ke?2t]?(t) ?t?2t?与给定的系统全响应y(t)?[2e?3e]?(t)比较，可得：k?2，y(0)?5
因此，系统的零输入响应为 系统的零状态响应为
yx(t)?y(0?)e?2t?(t)?5e?2t?(t)
7. 根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号f(k)为单位脉冲序列?(k)时，其输出y(k)就是系统的单位脉冲响应h(k)，即
yf(t)?(ke?t?ke?2t)?(t)?2(e?t?e?2t)?(t)
1N?111h(k)???(k?n)?[?(k)??(k?1)??(k?2)??(k?3)??(k?4)]?[?(k)??(k?5)]Nn?055由于h(k)满足h(k)?0,k?0
n?????所以系统是因果、稳定的。
8. 根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图A-10所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为
f(t)x3(t)14h[k]??1?15k?0
--?s?1s?1x2(t)s?1x1(t)?y(t)32图A-10
围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为y(t)?x1(t)?x3(t)
?3(t)??x1(t)?2x2(t)?3x3(t)?f(t) ?2(t)?x3(t)，x?1(t)?x2(t)，xx四、解：
1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得 整理后得
s2Y(s)?sy(0?)?y'(0?)?5sY(s)?5y(0?)?6Y(s)?(2s?1)F(s)
sy(0?)?y'(0?)?5y(0?)2s?1Y(s)??F(s)22s?5s?6s?5s?6
Yx(s)?s?64?3??s2?5s?6s?2s?3
零输入响应的s域表达式为
取拉斯反变换可得 零状态响应的s域表达式为
yx(t)?4e?2t?3e?3t,t?0
Yf(s)?取拉斯反变换可得
2s?12s?1?1/23?5/2F(s)????s2?5s?6(s2?5s?6)(s?1)s?1s?2s?3
15yf(t)?(?e?t?3e?2t?e?3t)?(t)22
111y(t)?yx(t)?yf(t)??e?t?7e?2t?e?3t,t?022
完全响应为
(2) 根据系统函数的定义，可得
H(s)?取拉斯反变换即得
Yf(s)F(s)?2s?1?35??s2?5s?6s?2s?3
由于系统函数的极点为-2，-3 ，在左半s平面，故系统稳定。
h(t)?(?3e?2t?5e?3t)?(t)
2s?1?s?2H(s)?1?5s?1?6s?2由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 (3) 将系统函数改写为
A-11所示。
2F(s)--?s?1s?1?Y(s)56图A-11
2. (1) 对差分方程两边进行z变换得 整理后可得
6Y(z)?5{z?1Y(z)?y(?1)}?{z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)}?F(z)
5y(?1)?z?1y(?1)?y(?2)F(z)Y(z)??6?5z?1?z?26?5z?1?z?2
零输入响应的z域表示式为
取z反变换可得系统零输入响应为
5y(?1)?z?1y(?1)?y(?2)?13?2z?1?9/27/3Yx(z)????6?5z?1?z?26?5z?1?z?21?1z?11?1z?123
9171yx(k)?[?()k?()k]?(k)2233
零状态响应的z域表示式为
Yf(z)?取z反变换可得系统零状态响应为
F(z)1?1/21/61/2????1?11?11?z?16?5z?1?z?2(6?5z?1?z?2)(1?z?1)1?z1?z23
11111yf(k)?[?()k?()k?]?(k)22632
1511y(k)?yx(k)?yf(k)?[?5()k?()k?]?(k)2232
系统的完全响应
(2) 根据系统函数的定义，可得
H(z)?Yf(z)F(z)?16?5z?1?z?2?取z反变换即得系统单位冲激响应为
1/2?1/3?111?z?11?z?123
1111h(k)?[()k?()k]?(k)2233
(3)若f(k)?2?(k?1)，则系统的零输入响应yx(k)、单位冲激响应h(k)和系统函数H(z)均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为
系统全响应为
111yf(k)?[?()k?1?()k?1?1]?(k?1)233
9171111y(k)?yx(k)?yf(k)?[?()k?()k]?(k)?[?()k?1?()k?1?1]?(k?1)2233233
3. A、B、C、和D各点及输出y(t)的频谱率分别为
FA(j?)?FT[cos(1000t)]??[?(??1000)??(??1000)]
11FB(j?)?F(j?)?FA(j?)?[F(??1000)?F(??1000)]2?2
FC(j?)?FB(j?)H1(j?)
1FD(j?)?[FC(??1000)?FC(??1000)]2
Y(j?)?FD(j?)H2(j?)
1Y(j?)?F(j?)4A、B、C、D和E各点频谱图如图A-12所示。由于故可得y(t)与f(t)1y(t)?f(t)4的关系为。
(?)FA(?)(?)FB(?)1/2-??10000?1000
?100001000FD(?)
FC(?)1/2-?10000?10001/4
?2000?10010?2000
Y(?)1/4?10010?
图A-12